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Basis des Bildes, Rang, 4x3 Matrix

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

roggenfaenger aktiv_icon

15:15 Uhr, 06.12.2014

Hallo,

ich bin mir bei folgender Aufgabe etwas unsicher und wollte Euch fragen, ob meine Lösungen

(a, b)

richtig sind und wie ich die letzte Aufgabe

(c)

bearbeite. Vielen Dank im Voraus.

A = (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \end{matrix})

a)

Rang von A bestimmen.
Nach Zeilenvertausch (II

u

. III) und Multiplikation von I

\cdot - (2) +

III und I*(-1)

+

II erhält man folgende Matrix in Zeilenstufenform:

A = (\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

zwei linear unabhängige Zeilenvektoren = Rang 2.

- -

b)

Basis vom Bild A

Das Bild von

A,

ist der Span der Spaltenvektoren (ist das so richtig?)
Nach der Dimensionsformel ist dim(Bild)=2

Nun wähle ich zwei linear unabhängige Vektoren meiner umgeformten Matrix aus.

im(A)=Span

(a_{2}, a_{3}) = {(\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})}

Ist das richtig? Oder muss ich zwei der Urspsrungsmatrix nehmen (vor Zeilenumformung)?

- -

c)

Orthonormalbasis vom Kern A

Kern

A = A \cdot \vec{x} = \vec{0}

nun habe ich zwei Gleichungen und vier Unbekannte

x_{1} + x_{3} + x_{4} = 0

x_{2} - x_{4} = 0

\Rightarrow x_{2} = x_{4}

und

x_{1} = - x_{2} - x_{3}

allgemeine Lösung:

X = (\begin{matrix} - x_{2} - x_{3} \\ x_{4} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix})

Was mache ich damit jetzt? Wie erhalte dich damit meine Basisvektoren? Es müssten zwei Stück sein, da dim(Kern)=2 ist....

Viele Grüße,

rf

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

ledum aktiv_icon

16:21 Uhr, 06.12.2014

Hallo
ungeschickt ist, dass du noch 3 parameter da stehen hast. besser:

x_{4} = 3, x_{2} = r x 3 = s, x_{1} = - r - s

jetzt wähle

z . B

einmal

r = 0 s = 1

und dann

s = 0 r = 1

mach sicher dass die 2 dann lin unabh. dann noch orthonormalisieren, oder direkt

r, s

so wählen dass die Vektoren orthogonal sind und dann nur noch normieren
bei

a) 2

lin unabh. der ursprünglichen matrix
Gruss ledum

roggenfaenger aktiv_icon

23:29 Uhr, 06.12.2014

Danke für deine Tipps!

Da die dim(ker(A))=2 sein muss, muss ich aus meinen Lösungen des Gleichungssystem zwei Vektoren basteln.

ich habe einmal

x_{4} = 1 \land x_{3} = 0

und einmal

x_{4} = 0 \land x_{3} = 1

benutzt und so zwei Vektoren erhalten:

v_{1} = (\begin{matrix} - 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

v_{2} = (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

Mithilfe des Gram-Schmidt-Orthonormierungsverfahren habe ich dann zwei orthogonale Vektoren erhalten (mit Länge "1")

Ist das so

i . O .

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