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Basis des Bildes und Basis der Jordan-Normalform
Universität / Fachhochschule
Matrizenrechnung
Tags: basis, Bild, Jordan Normalform
 
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Hallo, ich hab 2 Fragen bezüglich folgender Matrix: 0 -1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 (i) Geben sie die Basis des Bildes der durch die Matrix bestimmten linearen Abbildung an. (ii) Bestimmen sie die Jordan-Normalform und geben sie die zugehörige Basis an. zu (i): Erstmal habe ich die Matrix umgeformt auf 0 1 0 -1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Damit lässt sich ablesen. Da muss also auch sein. Meinem Verständnis nach muss ich jetzt nur noch 2 lin. unabhängige Vektoren aus der Matrix extrahieren, welche dann die Basis des Bildes sind, also . Ist das so richtig und wenn nein, warum bzw. wie muss ich an die Sache herangehen? zu (ii): Zunächst habe ich das charakteristische Polynom berechnet mit . Da aus den Jordanblöcken besteht und wir hier nur 1 mit geometrischer Vielfachheit 4 haben muss die Jordan-Normalform folgendermaßen aussehen: 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 Ist das so richtig? Wenn ja, fehlt noch die Basis von (also , welches erfüllt?) und hier stehe ich entweder auf dem Schlauch oder k.A. aber mir fällt absolut Nichts dazu ein. Hilfe wäre erwünscht ^^ Danke im Vorraus, euer mathux Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: | |
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anonymous 16:47 Uhr, 03.10.2008 |
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Hallo, zu 1): Du musst die Matrix zunächst in die (normierte) Zeilenstufenform bringen. Wichtig ist, du musst wissen, in welchen Spalten die Kopfvariablen stehen (hoffe der Begriff ist bekannt). In deinem Fall sind dies die Spalten 2 und 3. Das bedeutet, dass die Spalten 2 und 3 der URSPRUNGSmatrix eine mögliche Basis des Bildes sind. das wären dann (-1|0|0|0) und (0|1|0|-1). zu 2): du kannst noch gar keine Aussage darüber treffen, wie die Jordan-Normalform aussieht. Du weißt, dass das char. Polynom ist. Damit weißt du, dass die ALGEBRAISCHE Vielfachheit des Eigenwertes 4 ist, um die geometrische Vielfachheit zu bestimmen, muss man die Dimension des Eigenraumes, d.h. eine Basis der Lösungsmenge von (E ist die Einheitsmatrix) bestimmen. Aber in diesem speziellen Fall kann ich dir auch gleich verraten, dass die geometrische Vielfachheit 2 beträgt. Wenn x ein Eigenvektor zum Eigenwert 0 ist, dann gilt also: Dazu wenden wir die Dimensionsformel an: In diesem Fall ist , also: . Hätte 0 die geometrische Vielfachheit 4, dann würde gelten: und die Jordan Normalform wäre 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Um nun die Jordan Basis zu bestimmen, nimmst du zunächst die beiden Basis-Vektoren des Eigenraumes. Anschließend bestimmst du alle zu diesen ersten Vektoren linear unabhängigen Vektoren von , dann usw., bis du genug linear unabhängige Vektoren hast um eine Basis zu bilden. Dieses ist dann die Jordan-Basis. Gruß Tobias |
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Danke für die ausführliche Antwort. Da muss ich mich übers Wochenende nochmal auf den Hosenboden setzen, Klausur ist Mitte nächster Woche :-S Ich schreibe dann nochmal, ob ich es verstanden habe und wenn nicht, was mir noch unklar ist. Aber nochmals: danke! |
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Also, nach Buch und Internetrecherche *glaube* ich, verstanden zu haben: zu (i): was eine Kopfvariable ist entzieht sich leider meiner Kenntnis. Soweit ich das überblicke wäre aber alles in Ordnung gewesen, wenn ich die Spalten der ursprünglichen Matrix genommen hätte (was ich - ganz ehrlich! - in meinen schriftlichen Aufzeichnungen auch gemacht habe)? zu (ii): gilt allgemein (falls es nur ein gibt) oder nur in diesem speziellen Fall? Und sehe ich das richtig, dass es bei der die eindeutige Jordan-Normalform 0100 0000 0001 0000 gibt oder sind auch 0100 0000 0010 0010 0000 0001 0000, 0000 möglich? |
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