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Basis des Bildes von einer linearen Abbildung

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: basis, Bild, Linear Abbildung

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01:21 Uhr, 14.02.2016

φ : ℝ^{4} \to ℝ^{4}

eine lineare Abbildung, die bezüglich der Standardbasis

ℝ^{4}

durch die Matrix

A = (\begin{matrix} 1 & 2 & 5 & 2 \\ 2 & 3 & 6 & 2 \\ 1 & 0 & - 3 & - 2 \\ 4 & 5 & 8 & 2 \end{matrix})

gegeben ist und man sollte eigentlich den Rang, Basis des Kerns von

φ

und die Basis des Bildes von

φ

ausrechnen, aber da ich mit der ersten und zweiten schon fertig bin wollte ich nur mal fragen, wie man die Basis des Bildes von

φ

hier bestimmt.

(Meine Idee hier war eigentlich den Matrix mit Basisergänzungs Satz auf 2 mögliche Vektoren zu reduzieren, aber bin mir noch nicht so sicher)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

Bummerang

01:32 Uhr, 14.02.2016

Hallo,

den Rang der Matrix würde ich nicht separat berechnen, der ergibt sich automatisch bei der Lösung des homogenen Gleichungssystems, das Dir auch eine Basis des Kerns liefert. Ergänze die Basis des Kerns zu einer Basis des

ℝ^{4}

und bilde die Ergänzungsvektoren mit der Matrix ab und Du hast eine Basis des Bildes.

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01:38 Uhr, 14.02.2016

Also sollte ich die Kernvektoren mit den einzelnen Vektoren (also Spalten) nach lineare Abhängigkeit überprüfen und sie ergänzen, wenn diese linear unabhängig zu den gewählten Basen sind?

Bummerang

01:41 Uhr, 14.02.2016

Hallo,

kannst Du Deine Frage auch verständlich formulieren?

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01:49 Uhr, 14.02.2016

Also Basis der Kern

φ

habe ich

(\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} 3 \\ - 4 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

gerechnet und ich habe dich jetzt so verstanden, dass ich diese als Basis des

ℝ^{4}

ergänze und dann sie mit jede einzelne Spalte des Matrix

A

in einer linearen Gleichungssystem nach linearen Abhängigkeit überprüfen sollte.

Bummerang

01:55 Uhr, 14.02.2016

Hallo,

falsch verstanden!

"Ergänze die Basis des Kerns zu einer Basis des

ℝ^{4}

..."

Ich nehme an, dass Du weisst, wie man das macht.

"... und bilde die Ergänzungsvektoren mit der Matrix ab und Du hast eine Basis des Bildes."

Wie bildet man denn eien Vektor mit der Matrix ab? Man multipliziert ihn von rechts mit der Matrix. Was Du da mit den Spalten vorhattest, verstehe ich nicht, sorry!

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02:06 Uhr, 14.02.2016

"Ich nehme an, dass Du weisst, wie man das macht."

Vielleicht weiß ich das, aber kenne das nur nicht als die Ergänzung der Basis, könntest du mir das Vorgehen etwas erläutern?

Bummerang

02:15 Uhr, 14.02.2016

Hallo,

es gibt da verschiedene Möglichkeiten, wie man ergänzt. Oft sieht man leicht einen oder zwei orthogonale Vektoren, orthogonale Vektoren sind definitiv unabhängig zu den gegebenen, allerdings dann nicht unbedingt untereinander. Deshalb wendet man öfters allgemeingültige Verfahren an. Man sollte wissen, dass ein Unterraum und sein Orthogonalraum sich zum Gesamtraum ergänzen und damit die Vereinigung der beiden Basen eine Basis des Gesamtraums bilden. Und eine Basis des Orthogonalraumes findet man, indem man ein homogenes Gleichungssystem aufstellt, dessen Koeffizientenmatrix als Zeilen die transponierten Basisvektoren des Kerns enthält.

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02:30 Uhr, 14.02.2016

Also sollte ich die Kern transponiert in einem homogenes LGS setzen, das wäre dann

| \begin{matrix} 2 & - 2 & 0 & 1 \\ 3 & - 4 & 1 & 0 \end{matrix} |

und diese lösen?

Bummerang

02:37 Uhr, 14.02.2016

Hallo,

sollen? Nicht unbedingt! Du darfst gerne eigene Verfahren zur Ermittlung der Ergänzungsvektoren benutzen. Aber ich mache es gerne genaus so, wie Du jetzt begonnen hast. Die Lösung ist ein zweidimensionaler Raum und Du erhältst gleich die beiden Basisvektoren.

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02:53 Uhr, 14.02.2016

Also wenn ich jetzt den LGS von oben löse komme ich allgemein auf

(\begin{matrix} t - \frac{1}{2} r \\ t \\ t \\ r \end{matrix})

sollte ich jetzt wie ich es bei der Berechnung von Kern gemacht habe eine linear unabhängige Kombination von

t

und

r

beliebig wählen und dann sie mit den gegebenen Matrix multiplizieren?

Bummerang

02:55 Uhr, 14.02.2016

Hallo,

genau so!

EDIT:
Sehe gerade, dass der Teil mit

r

keine Lösung des Gleichungssystems ist, also noch mal korrekt rechnen!

EDIT2:
In der dritten Komponente fehlt ein

\frac{3}{2} \cdot r!

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03:12 Uhr, 14.02.2016

Also wie ich das gelöst habe war

| \begin{matrix} 2 & - 2 & 0 & 1 \\ 3 & - 4 & 1 & 0 \end{matrix} |

die zweite Zeile mal 2 minus die 3 mal die erste

| \begin{matrix} 2 & - 2 & 0 & 1 \\ 0 & - 2 & 2 & 0 \end{matrix} |

da hätten wir in der zweiten Zeile die Gleichung

- 2 x_{2} + 2 x_{3} = 0

für

x_{3} = t

gilt

- 2 x_{2} = - 2 t \Rightarrow x_{2} = t

in der ersten Zeile hätten wir die Gleichung

2 x_{1} - 2 t + x_{4} = 0

für

x_{4} = r

gilt

2 x_{1} = 2 t - r | : 2

x_{1} = t - \frac{1}{2} r

das war eigentlich meine Lösung und ich weiß nicht, wo ich falsch gerechnet habe.

Bummerang

03:15 Uhr, 14.02.2016

Hallo,

letzte Spalte!

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03:19 Uhr, 14.02.2016

Ach das ist aber ein doofer Rechenfehler von mir gewesen,

Jetzt habe ich

(\begin{matrix} t - 2 r \\ t - \frac{3}{2} r \\ t \\ r \end{matrix})

Bummerang

03:31 Uhr, 14.02.2016

Hallo,

jetzt passen die Vektoren,

d . h

. sie sind beide orthogonal und da der Lösungsraum dieses Gleichungssystems 2-dimensional ist, sind sie auch untereinander linear unabhängig. Ich gebe Dir für die Zukunft einen Tip: Die Dreiecksform muss nicht vorn hergestellt werden! Bei Deiner Matrix gibt es hinten bereits Dreiecksform und man kann die ersten beiden Komponenten des Lösungsvektors als

r

t

setzen. Das ergibt in beiden Gleichungen:

2 \cdot r - 2 \cdot t + x_{4} = 0 \Rightarrow x_{4} = - 2 \cdot r + 2 \cdot t

3 \cdot r - 4 \cdot t + x_{3} = 0 \Rightarrow x_{3} = - 3 \cdot r + 4 \cdot t

\Rightarrow \vec{x} = (\begin{matrix} r \\ t \\ - 3 \cdot r + 4 \cdot t \\ - 2 \cdot r + 2 \cdot t \end{matrix})

\Rightarrow

eine Basis:

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 3 \\ - 2 \end{matrix}); (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 4 \\ 2 \end{matrix})

Such's Dir aus, welche Basis des Orthogonalraumes Du nehmen willst, um sie mit der Matrix zu multiplizieren!

EDIT: Hatte

x_{3}

und

x_{4}

vertauscht, aber jetzt korrigiert!

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03:35 Uhr, 14.02.2016

Darf man nicht mit beiden rechnen? Ich dachte es müssen 2 Vektoren rauskommen, da laut dimensionsformel

Dim

ℝ^{4} = 4 = dim

ker

φ + dim

φ

und da es 2 Kernbasen gibt gilt dim Im

φ = 2

Also dachte ich, man müsse zwei Basen berechnen

Bummerang

03:39 Uhr, 14.02.2016

Hallo,

beachte bitte, dass ich meine Lösung noch mal korrigiert habe! Ansonsten hast Du doch zwei Basen berechnet: Erstens die Basis vom Kern (bestehend aus zwei Basisvektoren) und zweitens die Basis vom Orthogonalraum (bestehend aus zwei Basisvektoren). Das einzige, was noch offen ist, ist die Basis des Bildraumes als Bild der Basis des Orthogonalraumes (zwei Vektoren abbilden)!

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03:45 Uhr, 14.02.2016

Also in Prinzip habe ich schon alles, was ich brauche und sollte einfach den berechneten basis des orthogonalraums mit der Matrix multiplizieren und wenn ich zu den berechneten Basis noch eine Kern basis ergänze habe ich schon zwei Basis des Bild von phi?

Bummerang

03:47 Uhr, 14.02.2016

Hallo,

bitte noch mal in verständlich!

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03:52 Uhr, 14.02.2016

ein Basis aus Kern, also nehmen wir mal einfach

(\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

und einen, die wir durch Multiplizieren eines Basis von Orthogonal mit dem Matrix erhalten sollten schon als die Basen des Bildes ausreichen?

Bummerang

03:56 Uhr, 14.02.2016

Hallo,

ich weiss nicht, was Du damit ausdrücken willst, aber die Basis des Kerns hast Du in Deinem Post von

01 : 49

Uhr vollständig angegeben, da fehlt mir das Verständnis dafür, was Du da noch erneut berechnen willst, sorry!

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04:04 Uhr, 14.02.2016

Die Basen des Bildes. Sollte ja aus 2 Vektoren bestehen und mir war halt immer noch nicht klar, was ich als Basen des Bildes angeben sollte, obwohl wir eigentlich meiner Meinung nach alles berechnet haben was wir brauchen.

Bummerang

04:12 Uhr, 14.02.2016

Hallo,

Du hast die Basis des Kerns berechnet (siehe Dein Post von

01 : 49

Uhr), Du hast die Basis des Orthogonalraumes des Kerns berechnet (siehe Dein Post von

03 : 19

Uhr), Du kannst auch die von mir für Dich vorgerechnete Basis des Orthogonalraums des Kerns nehmen (siehe mein Post von

03 : 31

Uhr). Was noch fehlt, ist die Basis des Bildes, die man berechnet, indem man eine Basis des Orthogonalraumes einfach mit der Matrix abbildet (siehe mein Post von

03 : 39

Uhr).

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04:15 Uhr, 14.02.2016

also die zwei orthogonal basis einzeln mit dem Matrix multiplizieren dann fertig.

Bummerang

04:22 Uhr, 14.02.2016

Hallo,

ob nun einzeln oder als Matrix mit zwei Spalten, deren Spalten die beiden Vektoren der Basis des Orthogonalraumes sind, ist egal, Hauptsache multiplizieren!

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04:27 Uhr, 14.02.2016

alles klar vielen dank

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