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Basis des Tangentialraumes bestimmen

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Tags: Funktion, Graph, Nullstellenmenge, Tangentialraum

 
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Baumstamm

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09:14 Uhr, 15.04.2020

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Hallo zusammen

Meine Aufgabe lautet:

Sei f:ℝ2→ℝ eine glatte Funktion. Bestimmen Sie eine Basis für den Tangentialraum TpM des Graphen

M= Graph(f) ={(x,y,f(x,y))∈ℝ3|x,y∈ℝ}

von f bei p=(x,y,f(x,y)) im allgemeinen Fall sowie für
f(x,y)=x2cos(y)+sin(y) und (x,y)=(π,π2)


Damit ich hier das aus der Vorlesung bekannte Schema anwenden kann, muss ich den Graphen als Nullstellenmenge einer Funktion beschreiben. Ich habe den Eindruck, dass das eigentlich eine einfache Sache sein sollte, aber ich komme einfach nicht darauf, wie ich das anstellen soll. Ich wäre sehr froh, wenn mir da jemand einen Tipp geben könnte.

Gruss Baumstamm



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

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ermanus

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09:31 Uhr, 15.04.2020

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Hallo,

in der Tat ist es nicht schwierig.
Setze g(x,y,z)=z-f(x,y).
Dann ist die Nullstellenmenge von g der Graph von f.

Gruß ermanus
Baumstamm

Baumstamm aktiv_icon

10:12 Uhr, 15.04.2020

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Vielen Dank für diesen Hinweis, da habe ich wieder mal am falschen Ort gesucht.

Jetzt ist gerade noch ein Problem bei dieser Aufgabe aufgetreten: Ich nehme an, ich soll verwenden, dass TpM= ker Dg(p) ist. Mein Problem ist jetzt, dass ich über die Jacobi-Matrix von g eigentlich nicht viel sagen kann ausser der Ableitung nach z. Die Ableitungen von f(x,y) nach x und y habe ich erstmal als partielle Ableitungen geschrieben. Ich sollte also jetzt

ker (∂f∂x,∂f∂y,1)
berechnen am Punkt p=(x,y,f(x,y))

Ich verstehe nicht so ganz wie ich diesen Kern nun berechnen soll.

Gruss Baumstamm
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ermanus

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11:18 Uhr, 15.04.2020

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Ich schreibe mal fx,fy für die partiellen Ableitungen.
Dann ist der Gradient (fx(p),fy(p),-1) im Punkt p.
Der Kern ist das orthogonale Komplement des Gradienten,
also im allgemeinen Fall die Ebene

Tp={(x,y,z)∣z=fx(p)x+fy(p)y}

Gruß ermanus
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