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Basis des Unterraums beweisen

Universität / Fachhochschule

Lineare Unabhängigkeit

Vektorräume

Tags: basis, Lineare Unabhängigkeit, Unterraum, Vektorraum

Michi-- aktiv_icon

18:12 Uhr, 18.05.2020

Es geht um die folgende Aufgabe:

Wir betrachten den R-Vektorraum

V = R [x] \leq

4der reellen Polynome vom Grad

\leq 4

.

Wir betrachten den Unterraum U:=

{

f∈V|f(1)+f(-1)=f(2)-f(-2)=0} von V. Zeigen Sie, dass

B := {(x^{2}) - 1,

(x^3)-4x,(x^4)-1

}

⊆U eine Basis von

U

ist.(Sie müssen nicht nachweisen, dass

U

ein Unterraum ist und dass B⊆U gilt.)

ich habe zunächst versucht die lineare Unabhängigkeit der Basisvektoren zu beweisen. Dazu habe ich

f (x) = (x^{2}) - 1, g (x) = (x^{3}) - 4 x,

und

h (x) = (x^{4}) - 1

verwendet, sowie die Gleichung

a \cdot f (x) + b \cdot g (x) + c \cdot h (x) = 0

. Indem ich

x = 1

gewählt habe, wurde offensichtlich dass

b = 0

gelten muss, doch nun bin ich daran hängen geblieben dass

f

und

h

die gleichen Nullstellen haben und daher a und

c

meiner Ansicht nach nicht eindeutig sind. Ich bin mir nicht sicher wie ich die Bedingungen des Unterraums verwenden soll oder ob ich für diese Aufgabe den richtigen Ansatz gewählt habe, für Tipps wäre ich dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung