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Basis durch Bestimmung von Variable ermitteln
Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe
Tags: Algebra, basis, dimension, Lineares Gleichungssystem, Matrix, Variable, Vektor
 
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Meine Verzweiflungsaufgabe. Wie kann die reelle Zahl a gwählt werden, damit die Vektoren eine Basis des bzw. bilden? matrix(a^3,a^2,a]), matrix([1,1,1]), matrix([27,9,a^5]) Das theoretische ist mir klar. Ich tue so, als sollten die Vektoren abhängig sein und formuliere das Gleichungssystem. Dadurch sind alle Zahlen bekannt, die KEINE Basis bilden. Auch ist mir klar, dass ein Gleichungssystem aufgestellt werden soll, das mit und a drei Variablen enthält, was eine exakte Lösbarkeit durch drei Gleichungen zur Folge hat. Leider Gottes scheitere ich an der mathematischen Umsetzung, weil ich es nicht schaffe, zwei Variablen in der letzten Zeile zu eliminieren (habe natürlich Gauss-Verfahren angewandt und so gestellt, dass sich in der Spalte ganz rechts nur Nullen befinden). Zusatz: Mein Rechenprogramm (MuPad) gibt eine leere Lösungsmenge aus, obwohl 1 ganz offensichtlich eine Lösung ist. Ich hoffe, jemand ist fähig, seine Lösung darzustellen. Mfg Momomo |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Einführung Funktionen Lineare Gleichungssysteme Logarithmusgesetze - Einführung Matrizen - Determinante und inverse Matrix Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren Einführung Funktionen Lineare Gleichungssysteme Logarithmusgesetze - Einführung Matrizen - Determinante und inverse Matrix | |
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Prinzipiell ist erstmal zu sagen, dass 3 Vektoren keine Basis des sein können, denn eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem. Dennoch: In dem Fall, da der erste Vektor an jeder Stelle ein a hat, bietet sich für eine Basis des an. Dann bleiben die Vektoren und übrig. Diese sind linear unabhängig (zeigt man recht schnell) und daraus folgt: span |
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Tut mir leid, habe ich vergessen zu sage. Hier ist natürlich gefragt, war bei den Aufgaben davor. |
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anonymous 17:46 Uhr, 10.02.2013 |
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3 linear unabhängige Vektoren bilden eine Basis des R3. A= (a^3 a^2 a) (1 1 1) (27 9 a^5) was ist für a einzusetzen: a=0 und a=1 ergibt einen linear abhängigen Vektor von A2(1..3). Das nächst einfache: a=2 (8 4 2) (1 1 1) (27 9 32) Danke. |
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Jaja, mir ist klar, was die Lösung ist, doch hätte ich gern gewusst, wie man eben auf bzw. 1 kommt. Dazu muss man nämlich ein Gleichungssysteme lösen, was ich nicht schaffe. |
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anonymous 20:37 Uhr, 10.02.2013 |
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Es ist ein Probieren, möglichst einfache Werte einsetzen. # a=0 z1=(0 0 0) z2=(1 1 1) z3=(27 9 0) 1 Vektor ist von anderen linear abhängig, wenn er durch eine Linearkombination mit denen, darstellbar ist. Das sind Multiplikation mit einem Skalar, oder Addition von Vektoren. Hier ist es sehr leicht erkennbar, ohne ein Gleichungssystem zu lösen: z1 = (0 0 0) z2 = (1 1 1) z1=0*z2 Eine Multiplikation mit dem Skalar 0. # a=2 z1=(8 4 2) z2=(1 1 1) z3=(27 9 32) Wir prüfen, ob die 3 Vektoren linear unabhängig sind. #Ein Zeilentausch erleichtert die Arbeit. (27 9 32) (8 4 2) (1 1 1) z3=8*z3-z2 Wir versuchen, an der Stelle A31 mit Linearkombinationen eine 0 zu erzeugen. (27 9 32) (8 4 2) z2=4*z2-z1 (0 4 6) Wir versuchen, an der Stelle A21 mit Linearkombinationen eine 0 zu erzeugen. (27 9 32) (0 5 -24) (0 4 6) z3=5*z3-4*z2 Wir versuchen, an der Stelle A32 mit Linearkombinationen eine 0 zu erzeugen. (27 9 32) (0 5 -24) (0 0 126) Damit wurde eine Dreiecksmatrix erzeugt, die in jeder Zeile zumindest einen Wert ungleich 0 aufweist.Was die lineare Unabhängigkeit der 3 Vektoien nachweist. Danke. |
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