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Basis einer Polynomfkt

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: polynom

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20:04 Uhr, 03.12.2021

hi, würde eure hilfe bei dieser aufgabe brauchen, iwie komm ich da nicht weiter

sei

P = {f : R \to R | f (t) = \sum_{i = 0} = (c_{i}) t^{i}, i = 1, ... ., n}

(bei der summe geht der index bis

n)

die Polynomfunktionen von beliebigem Grad auf

R

und weiters definieren wir durch

p_{k}

dei funktionen

p_{k} = t^{k} - t^{k + 1}

P

ist ein R-Vektorraum. Bilden die

p_{k}, k = 0, 1,

. . . eine Basis von P?

Ich blicke bei dieser aufgabe nicht durch und bitte um eure hilfe, ich weiss auch nicht wie anfangen soll,aber meine idee wäre

ich zeige,dass die menge

p_{k}

linear unabhängig ist und ob die menge

P

damit erzeugen kann?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

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20:13 Uhr, 03.12.2021

"ich zeige,dass die menge pk linear unabhängig ist und ob die menge P damit erzeugen kann?"

Ja.

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20:37 Uhr, 03.12.2021

wie kann ich zeigen dass

p_{k}

linear unabhängig ist?

für die

p_{k}

habe ich

k = 0, q_{1} \cdot (1 - t)

k = 1, q_{2} \cdot (t - t^{2})

k = 2, q_{3} \cdot (t^{2} - t^{3})

.
.

k = n, q_{3} \cdot (t^{n} - t^{n + 1})

k = n + 1, q_{n + 1} \cdot (t^{n + 1} - t^{n + 1})

q_{1} \cdot (1 - t) + q_{2} \cdot (t - t^{2}) + q_{3} \cdot (t^{2} - t^{3}) + ... + q_{3} \cdot (t^{n} - t^{n + 1}) + q_{3} (n + 1) \cdot (t^{n + 1} - t^{n + 1}) = 0

\Rightarrow q_{1} \cdot (1 - t) + q_{2} \cdot t (1 - t) + q_{3} \cdot t^{2} (1 - t) + ... . + q_{3} \cdot t^{n} (1 - t^{n}) + q_{n + 1} \cdot t^{n + 1} (1 - t^{n + 1})

= 0

ich leite daraus,dass die gleichung gilt,wenn für alle

q_{1} = q_{2} = q_{3} = . . = q_{n} = q_{n + 1} = 0

gilt

stimmt das?

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20:58 Uhr, 03.12.2021

So richtig verstehe ich nicht, was du machst.

Du musst zeigen, dass wenn man endlich viele von diesen Polynomen nimmt, also

p_{k_{1}}, p_{k_{2}}, . ., p_{k_{m}}

, und dann eine lineare Kombination daraus bildet:

a_{1} p_{k_{1}} + a_{2} p_{k_{2}} + . . + a_{m} p_{k_{m}}

, dann kann sie nur dann

0

ergeben, wenn alle

a_{i} = 0

.
Beweisen kann man z.B. so: ohne Einschränkung können wir annehmen, dass

k_{1} < k_{2} < . . . < k_{m}

.
Wenn jetzt

a_{m} \neq 0

, dann hätte das Polynom

a_{1} p_{k_{1}} + a_{2} p_{k_{2}} + . . + a_{m} p_{k_{m}}

die Form

- a_{m} x^{k_{m} + 1} + . . .

, wobei bei

. . .

es um kleinere Potenzen geht. Insbesondere wäre das Polynom nicht

0

, was Widerspruch wäre. Also muss

a_{m} = 0

sein. Dann hätte es aber die Form

- a_{m - 1} x^{k_{m}} + . . .

, was wiederum nicht

0

ist, wenn

a_{m - 1} \neq 0

. Also muss

a_{m - 1} = 0

sein. Usw. zeigt man, dass alle

a_{i} = 0

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21:15 Uhr, 03.12.2021

wie kommst du auf

- a_{m} x^{k_{m} + 1}

? da konnte ich leider nicht durchblicken

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21:20 Uhr, 03.12.2021

Dann nimm ein paar konkrete und schreib eine lineare Kombi aus.
Z.B.

a_{1} p_{1} + a_{2} p_{3} + a_{3} p_{7}

.
Es muss dann natürlich mit

t

statt mit

x

sein, weil bei dir Polynome von

t

abhängen

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21:45 Uhr, 03.12.2021

meinst du so

a_{1} (t - t^{2}) + a_{2} (t^{2} - t^{3}) + a_{3} (t^{7} - t^{8}) = 0

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10:01 Uhr, 04.12.2021

Ja, das wäre die entsprechende Gleichung. Jetzt überleg, warum alle

a_{i} = 0

sein müssen.

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10:45 Uhr, 05.12.2021

dafür habe ich mit dem koeffizietenvergleich,die gleichung aufgestellt

a_{1} = 0

- a_{1} t^{2} - a_{2} t^{2} = 0

- a_{2} t^{3} + a_{3} t^{3} = 0

- a_{3} t^{3} = 0

folgt,dass alle

a_{1} = . . = a_{3} = 0

dann greife ich darauf zurück, dass eine eine menge linear unabhängig ist, falls es eine endlich teilmengemenge gibt, das linear unabhängig ist

in dem fall wäre

M = {p_{k} | p_{k} = t^{k} - t^{k + 1}; k = 0,1 ...,}

und die endliche teilmenge

S = {(t - t^{2}; t^{2} - t^{3}; t^{7} - t^{8}}

S

linear unabhängig ist und

S < M

gilt

\Rightarrow M

linear unabhängig

also so würde ich argumentieren

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11:49 Uhr, 05.12.2021

"dafür habe ich mit dem koeffizietenvergleich,die gleichung aufgestellt"

Das ist zwar richtig gedacht, aber unsauber aufgeschrieben. Es muss

- a_{1} - a_{2} = 0

heißen, ohne

t^{2}

, denn

t^{2}

gehört nicht zu Koeffizienten. Außerdem stimmen die Potenzen nicht.

"dann greife ich darauf zurück, dass eine eine menge linear unabhängig ist, falls es eine endlich teilmengemenge gibt, das linear unabhängig ist"

Nein, das stimmt nicht.

Du musst so argumentieren, wie ich oben geschrieben habe. Das letzte Beispiel dient nur der Anschauung.
Der volle Koeffizientenvergleich war unnötig, es reicht es so zu machen:

0 = a_{1} (t - t^{2}) + a_{2} (t^{2} - t^{3}) + a_{3} (t^{7} - t^{8}) = - a_{3} t^{8} + . . .

(kleinere Potenzen). Also,

a_{3} = 0

.
Das führt zu

0 = a_{1} (t - t^{2}) + a_{2} (t^{2} - t^{3}) = - a_{2} t^{3} + . . .

(kleinere Potenzen). Also,

a_{2} = 0

. Usw.

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12:05 Uhr, 05.12.2021

irgendwie check ich nicht was du mit kleinere potenzen meinst,da blick leider nicht durch

: (

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12:13 Uhr, 05.12.2021

Voll ausgeschrieben wäre es

a_{1} (t - t^{2}) + a_{2} (t^{2} - t^{3}) + a_{3} (t^{7} - t^{8}) = - a_{3} t^{8} + (a_{3} t^{7} - a_{2} t^{3} + (a_{2} - a_{1}) t^{2} + a_{1} t)

.
In Klammern stehen kleinere Potenzen von

t

, nämlich die 7., die 3. usw.
Wenn ein Polynom gleich 0 ist, dann sind alle seine Koeffizienten =0, insbesondere das Koeffizient bei der höchsten Potenz. In diesem Fall ist die höchste Potenz 8. Also muss

a_{3} = 0

sein. Dadurch "verkleinert" sich das Polynom und man kann genauso argumentieren, dass

a_{2} = 0

usw. Diese Methode funktioniert auch allgemein.

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12:35 Uhr, 05.12.2021

vielen dank! somit wäre die lin unabhängigkeit erledigt
wenn ich jetzt zeigen will dass die menge

p_{k}

ein erzeugendensystem von

P

ist,dann müsste gelten

dann müsste für die menge

p_{k}

gelten

{t - t^{2}; t^{2} - t^{3}, ... .}

gibt es

a_{i}

in R,sodass

a_{1} \cdot (t - t^{2}) + a_{2} (t^{2} - t^{3}) + ... + a_{n} (t^{n} - t^{n + 1}) = f (t)

oder ?

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12:35 Uhr, 05.12.2021

vielen dank! somit wäre die lin unabhängigkeit erledigt
wenn ich jetzt zeigen will dass die menge

p_{k}

ein erzeugendensystem von

P

ist,dann müsste gelten

dann müsste für die menge

p_{k}

gelten

{t - t^{2}; t^{2} - t^{3}, ... .}

gibt es

a_{i}

in R,sodass

a_{1} \cdot (t - t^{2}) + a_{2} (t^{2} - t^{3}) + ... + a_{n} (t^{n} - t^{n + 1}) = f (t)

oder ?

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12:35 Uhr, 05.12.2021

vielen dank! somit wäre die lin unabhängigkeit erledigt
wenn ich jetzt zeigen will dass die menge

p_{k}

ein erzeugendensystem von

P

ist, gelten

dann müsste für die menge

p_{n} {t - t^{2}; t^{2} - t^{3}, ..., p^{n} - t^{n + 1}}

gelten; es gibt

a_{i} \in R

i=1;..;n,sodass

a_{1} \cdot (t - t^{2}) + a_{2} (t^{2} - t^{3}) + ... + a_{n} (t^{n} - t^{n + 1}) = f (t)

oder ?

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15:02 Uhr, 05.12.2021

Schwer zu verstehen, was du meinst.
Du musst zeigen, dass für jedes Polynom

P (t) = b_{n} t^{n} + . . . + b_{0}

Koeffizienten

a_{1}, . . ., a_{n - 1}

existieren, so dass

P (t) = a_{n - 1} (t^{n - 1} - t^{n}) + . . . a_{1} (t - t^{2}) + a_{0} (1 - t)

gilt.

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22:02 Uhr, 05.12.2021

da würde ich wieder den koeffizientenvergleich anwenden

und würde rauskriegen,

a_{n - 1} = b_{n}

a_{n - 2 = - b_{n - 1} + b_{n}}

..

mache so weiter

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07:06 Uhr, 06.12.2021

Ja, genau

Haribo24 aktiv_icon

21:31 Uhr, 07.12.2021

Dankeschön

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