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Basis einer Polynomfkt

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Polynome

Tags: polynom

 
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Haribo24

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20:04 Uhr, 03.12.2021

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hi, würde eure hilfe bei dieser aufgabe brauchen, iwie komm ich da nicht weiter

sei P={f:RR|f(t)=i=0=(ci)ti,i=1,....,n} (bei der summe geht der index bis n) die Polynomfunktionen von beliebigem Grad auf R und weiters definieren wir durch pk dei funktionen

pk=tk-tk+1

P ist ein R-Vektorraum. Bilden die pk,k=0,1,. . . eine Basis von P?


Ich blicke bei dieser aufgabe nicht durch und bitte um eure hilfe, ich weiss auch nicht wie anfangen soll,aber meine idee wäre

ich zeige,dass die menge pk linear unabhängig ist und ob die menge P damit erzeugen kann?





Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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DrBoogie

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20:13 Uhr, 03.12.2021

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"ich zeige,dass die menge pk linear unabhängig ist und ob die menge P damit erzeugen kann?"


Ja.
Haribo24

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20:37 Uhr, 03.12.2021

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wie kann ich zeigen dass pk linear unabhängig ist?


für die pk habe ich
k=0,q1(1-t)
k=1,q2(t-t2)
k=2,q3(t2-t3)
.
.
k=n,q3(tn-tn+1)
k=n+1,qn+1(tn+1-tn+1)

q1(1-t)+q2(t-t2)+q3(t2-t3)+...+q3(tn-tn+1)+q3(n+1)(tn+1-tn+1)=0

q1(1-t)+q2t(1-t)+q3t2(1-t)+....+q3tn(1-tn)+qn+1tn+1(1-tn+1)
=0
ich leite daraus,dass die gleichung gilt,wenn für alle
q1=q2=q3=..=qn=qn+1=0 gilt

stimmt das?
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DrBoogie

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20:58 Uhr, 03.12.2021

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So richtig verstehe ich nicht, was du machst.

Du musst zeigen, dass wenn man endlich viele von diesen Polynomen nimmt, also pk1,pk2,..,pkm, und dann eine lineare Kombination daraus bildet: a1pk1+a2pk2+..+ampkm, dann kann sie nur dann 0 ergeben, wenn alle ai=0.
Beweisen kann man z.B. so: ohne Einschränkung können wir annehmen, dass k1<k2<...<km.
Wenn jetzt am0, dann hätte das Polynom a1pk1+a2pk2+..+ampkm die Form -amxkm+1+..., wobei bei ... es um kleinere Potenzen geht. Insbesondere wäre das Polynom nicht 0, was Widerspruch wäre. Also muss am=0 sein. Dann hätte es aber die Form -am-1xkm+..., was wiederum nicht 0 ist, wenn am-10. Also muss am-1=0 sein. Usw. zeigt man, dass alle ai=0.
Haribo24

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21:15 Uhr, 03.12.2021

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wie kommst du auf -amxkm+1? da konnte ich leider nicht durchblicken
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DrBoogie

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21:20 Uhr, 03.12.2021

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Dann nimm ein paar konkrete und schreib eine lineare Kombi aus.
Z.B. a1p1+a2p3+a3p7.
Es muss dann natürlich mit t statt mit x sein, weil bei dir Polynome von t abhängen
Haribo24

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21:45 Uhr, 03.12.2021

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meinst du so

a1(t-t2)+a2(t2-t3)+a3(t7-t8)=0?
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DrBoogie

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10:01 Uhr, 04.12.2021

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Ja, das wäre die entsprechende Gleichung. Jetzt überleg, warum alle ai=0 sein müssen.
Haribo24

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10:45 Uhr, 05.12.2021

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dafür habe ich mit dem koeffizietenvergleich,die gleichung aufgestellt



a1=0
-a1t2-a2t2=0
-a2t3+a3t3=0
-a3t3=0


folgt,dass alle a1=..=a3=0
dann greife ich darauf zurück, dass eine eine menge linear unabhängig ist, falls es eine endlich teilmengemenge gibt, das linear unabhängig ist

in dem fall wäre M={pk|pk=tk-tk+1;k=0,1...,}
und die endliche teilmenge S={(t-t2;t2-t3;t7-t8}

da S linear unabhängig ist und S<M gilt M linear unabhängig

also so würde ich argumentieren
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DrBoogie

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11:49 Uhr, 05.12.2021

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"dafür habe ich mit dem koeffizietenvergleich,die gleichung aufgestellt"

Das ist zwar richtig gedacht, aber unsauber aufgeschrieben. Es muss -a1-a2=0 heißen, ohne t2, denn t2 gehört nicht zu Koeffizienten. Außerdem stimmen die Potenzen nicht.

"dann greife ich darauf zurück, dass eine eine menge linear unabhängig ist, falls es eine endlich teilmengemenge gibt, das linear unabhängig ist"

Nein, das stimmt nicht.

Du musst so argumentieren, wie ich oben geschrieben habe. Das letzte Beispiel dient nur der Anschauung.
Der volle Koeffizientenvergleich war unnötig, es reicht es so zu machen:
0=a1(tt2)+a2(t2t3)+a3(t7t8)=-a3t8+... (kleinere Potenzen). Also, a3=0.
Das führt zu 0=a1(tt2)+a2(t2t3)=-a2t3+... (kleinere Potenzen). Also, a2=0. Usw.
Haribo24

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12:05 Uhr, 05.12.2021

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irgendwie check ich nicht was du mit kleinere potenzen meinst,da blick leider nicht durch :(
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DrBoogie

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12:13 Uhr, 05.12.2021

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Voll ausgeschrieben wäre es
a1(tt2)+a2(t2t3)+a3(t7t8)=-a3t8+(a3t7-a2t3+(a2-a1)t2+a1t).
In Klammern stehen kleinere Potenzen von t, nämlich die 7., die 3. usw.
Wenn ein Polynom gleich 0 ist, dann sind alle seine Koeffizienten =0, insbesondere das Koeffizient bei der höchsten Potenz. In diesem Fall ist die höchste Potenz 8. Also muss a3=0 sein. Dadurch "verkleinert" sich das Polynom und man kann genauso argumentieren, dass a2=0 usw. Diese Methode funktioniert auch allgemein.

Haribo24

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12:35 Uhr, 05.12.2021

Antworten
vielen dank! somit wäre die lin unabhängigkeit erledigt
wenn ich jetzt zeigen will dass die menge pk ein erzeugendensystem von P ist,dann müsste gelten

dann müsste für die menge pk gelten {t-t2;t2-t3,....} gibt es ai in R,sodass

a1(t-t2)+a2(t2-t3)+...+an(tn-tn+1)=f(t)

oder ?
Haribo24

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12:35 Uhr, 05.12.2021

Antworten
vielen dank! somit wäre die lin unabhängigkeit erledigt
wenn ich jetzt zeigen will dass die menge pk ein erzeugendensystem von P ist,dann müsste gelten

dann müsste für die menge pk gelten {t-t2;t2-t3,....} gibt es ai in R,sodass

a1(t-t2)+a2(t2-t3)+...+an(tn-tn+1)=f(t)

oder ?
Haribo24

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12:35 Uhr, 05.12.2021

Antworten
vielen dank! somit wäre die lin unabhängigkeit erledigt
wenn ich jetzt zeigen will dass die menge pk ein erzeugendensystem von P ist, gelten

dann müsste für die menge pn{t-t2;t2-t3,...,pn-tn+1} gelten; es gibt aiR i=1;..;n,sodass

a1(t-t2)+a2(t2-t3)+...+an(tn-tn+1)=f(t)

oder ?

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DrBoogie

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15:02 Uhr, 05.12.2021

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Schwer zu verstehen, was du meinst.
Du musst zeigen, dass für jedes Polynom P(t)=bntn+...+b0 Koeffizienten a1,...,an-1 existieren, so dass P(t)=an-1(tn-1-tn)+...a1(t-t2)+a0(1-t) gilt.
Haribo24

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22:02 Uhr, 05.12.2021

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da würde ich wieder den koeffizientenvergleich anwenden

und würde rauskriegen,

an-1=bn
an-2=-bn-1+bn
..

mache so weiter
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DrBoogie

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07:06 Uhr, 06.12.2021

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Ja, genau
Frage beantwortet
Haribo24

Haribo24 aktiv_icon

21:31 Uhr, 07.12.2021

Antworten
Dankeschön