Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Basis einer nicht-ausgeartete Bilinearform

Basis einer nicht-ausgeartete Bilinearform

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Skalarprodukte

Vektorräume

Tags: Lineare Abbildungen, Skalarprodukt, Vektorraum

MeinNichkname aktiv_icon

18:54 Uhr, 14.05.2013

Hallo zusammen,

ich möchte gleich zu Beginn darauf hinweisen, dass ich diese Frage zunächst an anderer Stelle (siehe Link unten) gestellt habe. Mich jedoch nun vertrauensvoll an euch wende, da ich dort in den letzten 24 Stunden keine Antwort erhalten habe und hoffe, hier einen Ratschlag zu bekommen.
Der Höflichkeit halber, habe ich dort um Schließung des betreffenden Threads gebeten.

Ich habe einen

n

-dim.

ℝ

-VR

V

und eine nicht-ausgeartete Bilinearform

γ

auf

V

.

Ich möchte zeigen, dass zu einer gegebenen Basis

B = (v_{1}, \dots, v_{n})

eine weitere Basis

C = (w_{1}, \dots, v_{n})

mit

γ (v_{i}, w_{j}) = δ_{i j}

existiert, wobei

δ_{i j}

das Kronecker-Delta ist.

Ich habe viel hin und her probiert. Als Tipp wurde uns gegeben, die zu

B

duale Basis von

V^{*}

zu betrachten. Diese ist wie folgt definiert:

B^{*} = (v_{1}^{*}, \dots, v_{n}^{*})

, wobei

v_{i}^{*} \in V^{*}

und

v_{i}^{*} (v_{j}) = δ_{i j}

Das sieht prinzipiell schon mal gut aus. Nun sind die

v_{i}^{*}

, aber Linearformen, was mich ein wenig irritiert.

Hat jemand einen Ansatz für mich?

http//www.matheboard.de/thread.php?threadid=521522

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

michaL aktiv_icon

22:08 Uhr, 14.05.2013

Hallo,

der Reihe nach:

Dass

γ

nicht ausgeartet ist bedeutet wegen der endlichen Dimension von

V

, dass es die lineare Abbildung

γ_{r} : V \to V^{*}

v \mapsto (x \mapsto γ_{v} (x) := γ (x, v))

(sogar) ein Isomorphismus ist. (Habe mich da bei wikipedia kundgetan: de.wikipedia.org/wiki/Bilinearform#Nicht-ausgeartete_Bilinearform - s. unten!)

Ok, Wenn du jetzt die Basis

B

hernimmst, so hat die duale Basis

B^{*}

von

V^{*}

genau die gewünschte Eigenschaft.

Wegen der Isomorphismus-Eigenschaft von

γ_{r}

muss es zu der Menge

B^{*} \subseteq V^{*}

eine Urbildmenge

C

geben.
Ich habe es noch nicht nachgerechnet, ab die Menge

C

müsste sich gerade als gesuchte Basis erweisen.

Was ist dafür zu tun? Dass

C

gerade genau

n

Elemente beinhalten muss, folgt daher, dass auch

B^{*}

gerade

n

Elemente beinhält und

γ_{r}

ein Isomorphimus ist.
Noch zu beweisen:

C

ist linear unabhängig.
Versuche doch zunächst einmal, diese Kette zu verstehen. Sollten noch Fragen sein, melde dich einfach.

Wenn du das alles bis hier gewuppt hast, dann kannst du dich daran machen, die lineare Unabhängigkeit zu beweisen.

Einfacher wäre natürlich, das zentrale Ergebnis dieses Themas heranzuziehen, bei dem es im Wesentlichen darum geht (bei endlichen Vektorräumen), dass jede Bilinearform

γ : V \times V \to K

(

K

zugrunde liegender Körper) nach Wahl (je) einer Basis durch eine Matrix

M

wie folgt dargestellt werden kann:

γ (x, y) = x^{T} \cdot M \cdot y

.
Da müsste man nur untersuchen (ist nicht schwierig), wie sich ein Basiswechsel auf der einen bzw. anderen Seite auf die Matrix

M

auswirkt, dann ist das ganze ein Klacks.

Und noch eine Alternative habe ich, die weniger abstrakt zu sein scheint: Letztlich wird jeder der

n

Basisvektoren von

C

durch ein

n \times n

LGS festgelegt. Es wäre nur zu zeigen, dass dieses (für jeden Kandidaten) lösbar ist und man dadurch tatsächlich eine Basis erhält.

Mfg Michael

MeinNichkname aktiv_icon

11:14 Uhr, 15.05.2013

Hallo michaL!

Danke für deine sehr ausführliche Antwort. Hat mir zum Verständnis sehr geholfen. Ich habe deine Erläuterungen soweit gut nachvollziehen können. Ich bin gerade an dem Punkt, dass Urbild von

γ_{r}

zu betrachten. Mir ist klar, dass es die folgende Gestalt haben muss:

γ_{r}^{- 1} (B^{*}) = {y_{k} \in V : 1 \leq k \leq n} .

Nun möchte ich gerne

γ (v_{i}, y_{k})

für ein

v_{i} \in B

und ein

y_{k} \in γ_{r}^{- 1} (B^{*})

betrachten. Doch mir ist noch nicht klar, wie genau ich jetzt das Urbild der dualen Basis von

B

gewinnbringend für diese Betrachtung einsetzen kann ... an dieser Stelle fehlt mir wohl noch das Verständnis, wie genau der Isomorphismus

γ_{r}

imt

γ

zusammenspielt.

Hast du da noch eine Hilfestellung für mich? Ich danke dir nochmals vorab für deine Mühen

michaL aktiv_icon

13:27 Uhr, 15.05.2013

Hallo,

vielleicht helfen da schlicht ein paar Ergebnisse aus der linearen Algebra?!

Etwa sowas:
Lemma: Seien

V, W

zwei

K

-Vektorräume,

f : V \to W

ein

K

-Vektorraumhomomorphismus.
Dann gelten:
*

f

injektiv und

v_{1}, \dots, v_{n} \in V

linear unabhängig =>

f (v_{1}), \dots, f (v_{n}) \in V

linear unabhängig.
*

f

surjektiv und

f (v_{1}), \dots, f (v_{n}) \in V

linear unabhängig =>

v_{1}, \dots, v_{n} \in V

linear unabhängig.

(Hoffe mich hier nicht zuweit aus dem Fenster zu lehnen, aber irgend so einen Satz gibt es doch in den Vorlesungen immer.)

Bedenke, dass

γ_{r}

ein ISOmorphismus ist. Da werden linear unabhängige Vektoren wieder auf linear unabhängige Vektoren abgebildet. Die Bilder sind die duale BASIS, also insbesondere linear unabhängig!
Alles klar?

Mfg Michael

MeinNichkname aktiv_icon

09:52 Uhr, 16.05.2013

Hallo michaL,

die lineare Unabhängigkeit und die Basiseigenschaft bereiten mir keine Probleme. Meine Frage ist eher, welche Konsequenzen sich für

γ

ergeben, wenn ich es mit einem

v_{i} \in B

und einem

w_{j} \in γ_{r}^{- 1} (B^{*})

fütter. Warum ist

γ (v_{i}, w_{j}) = δ_{i} j

michaL aktiv_icon

11:55 Uhr, 16.05.2013

Hallo,

ok, also:

γ_{r} : V \to V^{*}

v \mapsto (x \mapsto γ_{v} (x) := γ (x, v))

γ_{r}

ist bijektiv und es gibt Linearformen

b_{1}^{*}, \dots, b_{n}^{*}

(duale Basis zu

b_{1}, \dots, b_{n}

), sodass

b_{i}^{*} (b_{j}) = δ_{i, j}

gilt.

Bis dahin ist die Sache klar, oder?

Jetzt weiter:
Die Linearformen

b_{1}^{*}, \dots, b_{n}^{*}

sind also Elemente von

V^{*}

, also von der Form

γ_{v} (x) := γ (x, y)

.

Bedenke:
> Dass

γ

nicht ausgeartet ist bedeutet wegen der endlichen Dimension von

V

, dass es die lineare Abbildung
>

γ_{r} : V \to V^{*}

v \mapsto (x \mapsto γ_{v} (x) := γ (x, v))

> (sogar) ein Isomorphismus ist.
(Aber das ist nur gesichert, weil

V

ein endlich dimensionaler VR ist.)
Soll heißen, jede Linearforme

b_{j}^{*}

muss von der Form

γ_{v}

für ein geeignetes

v

sein. Und darum geht's!

Zusammenhang klar geworden?

Mfg Michael

MeinNichkname aktiv_icon

18:49 Uhr, 17.05.2013

Ich habe es inzwischen, dank deiner großartigen Hilfe, verstanden. Vielen Dank nochmals.

1095532

1094801

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?