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Basis eines Teilraums bestimmen
Universität / Fachhochschule
Vektorräume
Tags: Vektorraum
 
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Hi, ich soll zu einem Teilraum des eine Basis finden. Ich habe 5 Vektoren vorgegeben, die diesen Raum aufspannen sollen. Wie stelle ich das an? Meine Überlegung war, ich schreibe sie in Matrixform und schaue, welche Vektoren linear unabhängig sind. Also schreibe ich doch die 5 gegebenen Spaltenvektoren in die SPALTEN der Matrix. Ich habe dann eine 4x5-Matrix Einträge pro Vektor und 5 Spalten, weil 5 Vektoren) Ich konnte eine Zeile in meiner Rechnung eliminieren. Habe jetzt noch 3 Zeilen mit Einträgen dort stehen. Aber was genau ist denn nun meine Basis? Im Internet finde ich die wildesten Antworten. Meine Zeilen können offensichtlich keine Vektoren sein, da sie 5 Einträge hätten... das macht aber keinen Sinn, denn wir befinden uns ja im . Ebenso wenig macht es Sinn, wenn ich die Spalten der Matrix betrachte. Die Spaltenvektoren hätten zwar 4 Einträge, was toll wäre, aber ich habe da 5 linear unabhängige Spalten stehen... auch nicht ganz das, was ich will, denn wir sind ja im . Wie genau schließe ich jetzt auf die Basis?? Im Internet hat jemand eine ähnliche AUfgabe berechnet. Bei ihm hat sich über das Gauß-Verfahren alles rausgestrichen bis auf die ersten beiden Zeilen seiner Matrix. Er sagte dazu "Nun sieht man direkt, dass die Vektoren und linear unabhängig sind". Finde ich nicht... sieht man das direkt? Wären bei meiner Rechnung dann auch die Vektoren und 4 linear unabhängig, da Vektor in der Zeile stand, in der die Matrix eine Nullzeile hat? Wieso kann ich das hier direkt sagen? Vielleicht ist nicht ganz klar was ich meine: Seine Matrix war eine 4x4-Matrix. Bei ihm wurden durch Zeilenumformungen die dritte und vierte Zeile zu einer Nullzeile, es blieben also nur Einträge in Zeile 1 und 2 drin. Wie kann er jetzt sagen, dass Vektor 1 und 2 linear unabhängig sind? Auch er hat seine Spaltenvektoren in die SPALTEN der Matrix geschrieben. Ich würde es verstehen, wenn er gesagt hätte, dass die ZEILEN 1 und 2 linear unabhängig sind... aber er hat ja geschrieben, dass die SPALTENvektoren 1 und 2 linear unabhängig sein sollen... check' ich nicht. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff) |
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Aus deinem Text wird klar, dass du zwar mit den Werkzeugen zur Lösung hantieren kannst, aber dir nicht wirklich bewusst ist, was da abläuft. Wenn die Vektoren der Matrix linear abhängig sind, ist ihre Determinante 0. Dann ist aber auch die Determinante der transponierten Matrix 0. Von daher ist es im Prinzip egal, ob du Spalten oder Zeilen betrachtest. Wenn du 5 Vektoren aus dem hast, müssen sie ja linear abhängig sein. Versuche, einen von ihnen als Linearkombination der anderen darzustellen. Wenn das geht, streiche ihn und versuche es mit einem der anderen usw. Am Schluss bleiben die linear unabhängigen nach und bilden die Basis. Operiere nicht mit dem Gauß-Verfahren .ä., wenn du nicht genau weißt, was du eigentlich machst. |
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Hi und danke für die Antwort. Leider hast du mir eigentlich nur das erklärt, was ich bereits wusste. Determinanteberechnen könnte schwierig werden bei einer nicht-quadratischen Matrix, daher wählte ich das Gauß-Verfahren. Es ließ sich eine Zeile ausstreichen. Was übrig blieb ist eine Matrix mit 3 unabhängigen Zeilen und einer Nullzeile. Sind diese Zeilen nun meine unabhängigen Vektoren? Wenn ja, wie kann das sein? Ich habe dann 3 Vektoren mit 5 Einträgen im . Oder sind die Spalten die unabhängigen Vektoren? Eigentlich kann ich mir die Frage sparen, denn ich hätte hier 5 Spalte mit 4 Einträgen im . das kann es also nicht sein. Meine Frage ist ganz explizit also: Nachdem ich das Gauß-Verfahren fertig angewandt habe, WO sehe ich meine Basisvektoren? |
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Hallo, ich versteh nicht viel von linearer Algebra, daher das Folgende unter Vorbehalt: Schreib die Vektoren als Zeilenvektoren und wende dann das Gauss-Verfahren an. Die danach übrig gebliebenen Zeilenvektoren sind Basisvektoren des Teilraum. Gruß Gisy |
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Hallo, "Ebenso wenig macht es Sinn, wenn ich die Spalten der Matrix betrachte. Die Spaltenvektoren hätten zwar 4 Einträge, was toll wäre, aber ich habe da 5 linear unabhängige Spalten stehen..." ...was ja, wie jeder weiss gar nicht geht, denn wenn man tatsächlich mal 5 linear unabhängige Vektoren im finden sollte, muss man die Geschichte der Mathematik neu schreiben und der wird dort als 5-dimensionaler Raum einen neuen historischen Platz finden! |
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Eben dies, Bummerang! @ Gisy123 DANKE für den Tipp. Ich habe es so probiert wie du sagtest und komme in der Tat nach ewig langer Rechnung auf 3 linear unabhängige Zeilenvektoren. Habe ich mich verrechnet, als ich es anfangs anders probiert habe und die Vektoren statt in Zeilen in Spalten geschrieben habe? Oder MUSS ich, wenn ich eine Basis suche, die Vektoren in die Zeilen der Matrix schreiben, statt den Spalten? Wenn ja: Wieso? Kann ich irgendwie testen ob meine Vektoren richtig sind? Theoretisch gibt es ja jede Menge Basen für diesen Untervektorraum. Oder kann ich's nur "Ausprobieren", sprich alle aufaddieren und gegebenenfalls mit 'nem Faktor verlängern, sodass ich die anderen Vektoren rausbekomme? |
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Hallo, das Gauss-Verfahren bezieht sich auf die in einem linearen Gleichungssystem a11x1+a2x2+...+a1nxn etc. in einer Zeile stehenden Koeffizienten des LGS. Da bei der Matrixdarstellung de LGS diese Koeffizienten aber Spaltenvektoren sind, muss man diese, um Gauss anwenden zu können, als Zeilenvektoren schreiben. Gisy |
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Eine Ergänzung zu meiner letzten Antwort findest du unten im Anhang. gisy  |
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Hi Gisy, danke für deine Antwort(en). Jetzt ist mir alles klar. |
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