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Basis eines Untervektorraums bestimmen

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Vektorräume

Tags: basis, Lineare Algebra, Untervektorraum, Vektorraum

 
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Kara01

Kara01 aktiv_icon

14:34 Uhr, 15.11.2021

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Hallo,

folgende Aufgabe:

Basis des Untervektorraums des ℝ4:

U:= {(x1,x2,x3,x4)∈ℝ4∣x1-x3=0,x2+x3+x4=0

Meine Lösung wäre folgende, mit der ich mir nicht sicher bin und um Hilfe bitte.

Es handelt sich um ein unbestimmtes Gleichungssystem, weshalb ich wie folgt vorgegangen bin:

Aus der zweiten Gleichung folgt:
x2=t und x4=s
x3=-x2-x4=-t-s

Aus der ersten Gleichung folgt:
x1=-x3=-(-t-s)=t+s

Somit ist:
(t+s-t-sts) = s*(1-101) +t*(1-110)

und das ist linear unabhängig somit ist das eine Basis.

Vielen Dank für die Hilfe schonmal.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

14:48 Uhr, 15.11.2021

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Der Vektor (1,-1,0,1) liegt gar nicht drin, denn x1-x3=0 nicht erfüllt ist.

Aus x1−x3=0 folgt x3=x1 und aus x2+x3+x4=0 folgt x4=-x2-x3=-x2-x1.
Also haben alle Vektoren die Forme (x1,x2,x1,-x1-x2), wobei x1 und x2 beliebige Werte annehmen können. Das kann man auch so schreiben:
(x1,x2,x1,-x1-x2)=x1(1,0,1,-1)+x2(0,1,0,-1). Hier kannst du auch eine Basis ablesen.
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

14:49 Uhr, 15.11.2021

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Was du gemacht hast, wäre auch richtig, dein Fehler war hier: x1=-x3. Das stimmt natürlich nicht.
Frage beantwortet
Kara01

Kara01 aktiv_icon

15:15 Uhr, 15.11.2021

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Vielen Dank für die Antwort und die Hilfe.
ja x1=-x3istnatürlichfalsch.DankefürHinweis.