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Basis eines Vektorraumes bestimmen

Universität / Fachhochschule

Lineare Unabhängigkeit

Vektorräume

Tags: Auspann, basis, Basisvektoren, Lineare Unabhängigkeit, Vektorraum

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12:51 Uhr, 02.12.2014

Hallo,
ich möchte zu dem Vektorraum

U = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) \in ℝ^{4} | 3 x_{1} - 2 x_{2} + x_{3} + 2 x_{4} = 0}

eine Basis bestimmen.

Ich bin jetzt durch ausprobieren auf die linear unabhängigen Vektoren

v_{1} (1,1, - 3,1), v_{2} (- 1,1,3,1)

und

v_{3} (1,1,1, - 1)

gekommen.

Ich bin mir aber nicht absolut sicher, ob es noch mehr linear unabhängige Vektoren gibt, die

U

aufspannen. Gibt es irgendeinen Trick, mit dem man die Basis für

U

bestimmen kann, oder muss man alle Möglichkeiten ausprobieren?

Gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

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13:22 Uhr, 02.12.2014

"Ich bin mir aber nicht absolut sicher, ob es noch mehr linear unabhängige Vektoren gibt, die U aufspannen."

Kannst Du aber sicher sein, ein Lösungsraum einer Gleichung mit

4

Variablen ist dreidimensional.

Allgemein findet man Basen von Lösungsräumen, indem man entsprechende Systeme löst. Stichwort: Gauss-Eliminationsverfahren.

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13:35 Uhr, 02.12.2014

Danke für deine Antwort.
Das Gauss-Eliminationsverfahren ist mir bekannt. Aber ich kann das in diesem speziellen Fall ja gar nicht anwenden, oder?

'Kannst Du aber sicher sein, ein Lösungsraum einer Gleichung mit 4 Variablen ist dreidimensional.'
Könntest du das noch etwas erläutern? Das ist für mich nicht wirklich offensichtlich.

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13:47 Uhr, 02.12.2014

Für jede lineare Abbildung

f : V \ t o W

gilt

\ d i m (V) = \ d i m (K e r n (f)) + \ d i m (B i l d (f))

.
In diesem Fall ist

V = \ m a t h b b {R}^4

W = \ m a t h b b {R}

d i m (B i l d (f)) = d i m (W) = 1

und

d i m (K e r n (f)) = 4 - 1 = 3

. Aber Kern ist nichts Anderes als Lösungsraum.

In Deinem Fall kannst Du immer noch Gauss-Verfahren anwenden, denn er besteht in seiner vollständigen Form nicht nur aus Elimination. Nachdem man eliminiert hat, fügt man spezielle Zeilen dazu, um die Basisvektoren des Lösungsraumes direkt abzulesen. Klingelt bei Dir? Oder habt Ihr das nicht gelernt und es wird wieder erwartet, dass Ihr von alleine darauf kommt?

anonymous

14:22 Uhr, 02.12.2014

(1000)

(0100)

(0010)

(0001)

Ist das auch eine Basis

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14:23 Uhr, 02.12.2014

Das ist eine Basis von

R^{4}

. Aber nicht von

U

wie in der Aufgabe. Diese Vektoren liegen nicht mal in

U

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14:26 Uhr, 02.12.2014

Warum die Dimension 3 sein muss ist mir jetzt klar geworden.

Das Gaußverfahren hatten wir in der Vorlesung noch gar nicht behandelt, und da es kein Skript gibt kann ich auch leider nicht schauen, ob dieses noch später erklärt wird.
Ich kann da nur auf meine Kenntnisse aus der Schule zurückgreifen und damals hatten wir solche Fälle nicht besprochen. Da hatten wir die Variablen nur in Abhängikeit voneinander angegeben, aber niemals Zeilen hinzugefügt.

DrBoogie aktiv_icon

14:29 Uhr, 02.12.2014

"Da hatten wir die Variablen nur in Abhängikeit voneinander angegeben"

Das geht aber auch, Du hast schließlich Basisvektoren gefunden.

Nonfamous aktiv_icon

14:42 Uhr, 02.12.2014

Ich glaube ich stehe gerade vollkommen auf dem Schlauch..

Die Abhängigkeiten sehen ja so aus: