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Basis eines Vektorraums berechnen

Universität / Fachhochschule

Tags: basis, Vektorraum

Minox aktiv_icon

16:20 Uhr, 09.01.2019

Gegeben ist ein Vektorraum

V = {(x, y, z) \in ℝ^{3}}

für den gilt

x + y + z = 0

Wie finde ich dazu jetzt eine Basis? Ich weiß wie es bei einem endlich erzeugtem Vektorraum geht, aber das bringt mich hier irgendwie nicht weiter.

Vielen Dank im Voraus,

Nils

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

michaL aktiv_icon

16:55 Uhr, 09.01.2019

Hallo,

du schriebst:
> Ich weiß wie es bei einem endlich erzeugtem Vektorraum geht, aber das bringt mich hier irgendwie nicht
> weiter.
Der Vektorraum ist doch endlich erzeugt?!

Du musst lernen, wie man unterbestimmte Gleichungssysteme löst (wobei hier der Teil "System" ein bisschen hochtrabend ist):
www.matopt.de/grundlagen/loesung-unterbestimmte-gleichungssysteme.html

Mfg Michael

Minox aktiv_icon

18:13 Uhr, 09.01.2019

Tut mir leid aber ich weiß nicht wirklich wie mir das weiterhilft. Soll ich jetzt

x + y + z = 0

als Gleichungssystem aufstellen und lösen? Damit rechne ich doch nur aus welche Vektoren in dem Vektorraum enthalten sind.

michaL aktiv_icon

19:30 Uhr, 09.01.2019

Hallo,

bist du dem Link gefolgt UND hast du versucht zu verstehen, was da gemacht wird?

Dort wird ein unterbestimmtes lineares Gleichungssystem gelöst. Unterbestimmt heißt, dass es mehr Variablen als Gleichungen gibt (so wie bei dir).

Ok, deinen Fall (nur eine Gleichung, 2 freie Variablen) habe ich eben nicht so schnell gefunden und ich traue dir nach der Nachfrage nicht zu, dass du dir das selbst erarbeitest.

Also ran:

x + y + z = 0

Da ist dir sicher klar, zwei Variablen die dritte bestimmen, das heißt, zwei Variablen können frei gewählt werden (freie Variablen), die dritte kann man dann über die Gleichung ausrechnen.

Welche du als freie Variablen wählst, ist im Prinzip egal. Wenn man nur eine Gleichung hat, ist es immer egal.

Ich möchte gern

y

und

z

als freie Variablen wählen.

Frei heißt, dass ich für sie einsetzen kann, was ich will. Damit es Basisvektoren werden, dürfen die Einsetzungen NICHT zu linear abhängigen Vektoren führen.

Aus diesem Grund verbietet sich das Einsetzen von

y = z = 0

, da das über

x = 0 - y - z = 0

den Vektor

(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array})

liefern würde. Und der ist allein schon linear abhängig.

So, was muss ich noch beachten?
Ich setze mal für

y = 1

und für

z = 3

ein, was über

x = - y - z = - 4

den Vektor

(\begin{array}{c} - 4 \\ 1 \\ 3 \end{array})

liefert.
Der ist linear unabhängig.
Vermutlich führt eine andere Einsetzung zu anderen Vektoren, etwa

y = 2

z = 6

über

x = - y - z = - 8

(\begin{array}{c} - 8 \\ 2 \\ 6 \end{array})

.

Leider sind aber

(\begin{array}{c} - 4 \\ 1 \\ 3 \end{array})

und

(\begin{array}{c} - 8 \\ 2 \\ 6 \end{array})

linear abhängig.

Also muss ich darauf achten, dass ich bei meinen Einsetzungen keine linear abhängigen Vektoren bekomme, da eine Basis aus linear unabhängigen Vektoren besteht.

Vielleicht ist dir schon bewusst, dass wegen der zwei Freiheitsgrade (2 freie Variablen) der Unterraum die Dimension 2 haben muss?!
(Die Gleichung kann als Koordinatenform einer Ebene im

ℝ^{3}

angesehen werden. Ihre Dimension ist offenbar 2. Passt alles zusammen! Kein Zufall.)

Wie erhalte ich also nun sicher zwei linear unabhängige Vektoren?

Da ist die Idee die, dass man Nullen ausnutzt.

Einmal setzen wir

y = 1

z = 0

und einmal umgekehrt

y = 0

z = 1

. Dies führt zu den Vektoren

(\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array})

und

(\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array})

. Diese sind offensichtlich (?) linear unabhängig! (Das eingeklammerte Fragezeichen ist eine Aufforderung, sich das offensichtliche klar zu machen!)

Warum führen die Nullen zu linearer Unabhängigkeit?

Betrachte die Gleichung für lineare Unabhängigkeit:

λ (\begin{array}{c} - 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + μ (\begin{array}{c} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array})

:

Aus der unteren Komponente folgt wegen

z = 0

im ersten und

z \neq 0

im zweiten Vektor, dass

μ = 0

gelten muss.
Und aus der mittleren Komponente folgt wegen

y = 0

im ersten und

y \neq 0

im zweiten Vektor, dass

λ = 0

gelten muss.

Also folgen

λ = μ = 0

, was bedeutet, dass die beiden Vektoren gleich Null sein müssen.

Beachte abschließend die Vorgehensweise im Link. Dort wird zwar nicht

x_{3} = 1

(sondern) 10 eingesetzt, aber danach auch

x_{3} = 0

.

Ich hoffe, du kannst jetzt lineare Gleichungssysteme lösen, wenn sie unterbestimmt sind, denn das war viel Arbeit!

Mfg Michael

Minox aktiv_icon

11:59 Uhr, 10.01.2019

Hallo,

Viele Dank für die sehr ausführliche Antwort. Ich konnte deswegen jetzt auch die anderen Aufgaben lösen. Ich gebe zu ich habe mich etwas dumm angestellt, was den Zusammenhang zwischen dem Gleichungssystem und der Basis angeht.

Nils

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