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Basis eines komplexen Vektorraums

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Tags: basis, Komplexe Zahlen, Körper, Vektorraum

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12:04 Uhr, 30.12.2016

Ich habe die Aufgabe angehangen. Ich versteh nicht, wie man die

c)

und die

d)

lösen soll? Ich meine, eine Basis kann ich ja dadurch beweisen, dass ich so viele linear unabhängige Vektoren habe, wie auch Dimensionen. Also bräuchte ich 3 unabhängige Vektoren und das ist ja für

v 1, v 2

und

v 3

schon bewiesen. Und wenn ich als dritten Vektor einen Vektor habe, der durch

v 3 +

ein Vielfaches von

v 1 + v 2

definiert wird, dann ist das doch vollkommen trivial, dass dieser linear unabhängig ist zu

v 1

und

v 2,

aber wie soll ich das aufschreiben oder "beweisen"? Über ein LGS wäre doch eine höllisch lange Rechnung. Und bei

d)

habe ich nicht mal eine Idee für den Ansatz. Aber im Endeffekt wäre das doch schon dadurch gegeben, wenn ich

w

als ein vielfaches von

v 3

definiere, was es ja sein muss, um zu

v 1

und

v 2

linear unabhängig zu sein und somit eine Basis zu bilden? Aber das sind alles extrem simple Lösungen und irgendwie erscheint mir das komisch.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung
Raummessung

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12:11 Uhr, 30.12.2016

"Über ein LGS wäre doch eine höllisch lange Rechnung."

Überhaupt nicht.

a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} + a_{3} (λ_{1} v_{1} + λ_{2} v_{2} + λ_{3} v_{3}) = 0

(a_{1} + λ_{1} a_{3}) v_{1} + (a_{2} + λ_{2} a_{3}) v_{2} + a_{3} λ_{3} v_{3} = 0

a_{1} + λ_{1} a_{3} = a_{2} + λ_{2} a_{3} = a_{3} λ_{3} = 0

,denn

v_{1}, v_{2}, v_{3}

sind lin. unabh. Da

λ_{3} \neq 0

, folgt

a_{3} = 0

und damit sofort

a_{1} = a_{2} = 0

. Fertig.

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12:14 Uhr, 30.12.2016

d) ist so ziemlich trivial. Da

v_{1}, v_{2}, v_{3}

eine Basis ist, kann man gewiss

w

als

λ_{1} v_{1} + λ_{2} v_{2} + λ_{3} v_{3}

darstellen. Es bleibt nur zu zeigen, dass

λ_{3}

nicht

0

sein kann. Was sehr einfach ist.

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12:19 Uhr, 30.12.2016

Brauche ich das so verstehen, dass unser

a \in C

ist und das

Λ

ersetzt in der Form:

Λ_{1} v_{1} + Λ_{2} v_{2} + Λ_{3} v_{3}

a_{1} \cdot v_{1} + a_{2} \cdot v_{2} + a_{3} \cdot v_{3}

und unser

v_{3}

durch

Λ_{1} v_{1} + Λ_{2} v_{2} + Λ_{3} v_{3}

ersetzt wurde? Weil ich hätte jetzt gedacht, dass der dritte Term unseres LGS lauten müsste:

Λ_{1} v_{1} + Λ_{2} v_{2} + Λ_{1} v_{1} + Λ_{2} v_{2} + Λ_{3} v_{3} = 0

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12:22 Uhr, 30.12.2016

Also genau wie meine Vermutung, dass

w

als Vektor in

C^{3}

durch

Λ_{1} v_{1} + Λ_{2} v_{2} + Λ_{3} v_{3}

darstellbar sein muss? Und wenn ich dann hätte, dass

w

unser

v_{3}

in der Basis ersetzen kann folgt ja daraus, dass

w

ein Vielfaches von

v_{3}

sein muss und somit gilt

w = Λ_{3} v_{3}

? Sehe ich das richtig oder fehlt da noch was.

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12:38 Uhr, 30.12.2016

"ich hätte jetzt gedacht, dass der dritte Term unseres LGS lauten müsste"

Und wie kommst Du dadrauf? :-O

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12:41 Uhr, 30.12.2016

Upps, nicht dritter Term, tschuldigung, mein Gehirn hatte ein Aussetzer. Ich meinte generell, dass wir anstelle von a unser

Λ

hätten.

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12:42 Uhr, 30.12.2016

"Sehe ich das richtig oder fehlt da noch was."

Du siehst das falsch. Auch wenn

v_{1}, v_{2}, w

eine Basis ist, heißt das nicht, dass

w

ein Vielfaches von

v_{3}

sein muss. Ist schon überraschend, dass Du diese falsche Folgerung machst, denn nach dem Punkt c) müsstest Du eigentlich besser wissen.

Und das
"wie meine Vermutung, dass als Vektor in durch darstellbar sein muss?"

ist keine Vermutung, sondern Definition einer Basis.

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12:43 Uhr, 30.12.2016

Diese Deine "anstelle" und "ersetzen" verstehe ich nicht. Versuche weniger Worte zu schreiben, Mathematik braucht keine Worte.

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12:44 Uhr, 30.12.2016

Wenn ich aber

w

nicht als Vielfaches von

v_{3}

hätte, dann würde das bedeuten ich könnte

v 1, v 2, v 3

und

w

als vier von einander unabhängige Vektoren definieren, was in drei Dimensionen doch überhaupt nicht gehen sollte?

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12:47 Uhr, 30.12.2016

"Wenn ich aber nicht als Vielfaches von hätte, dann würde das bedeuten ich könnte "

Würde nicht.

Beispiel:

v_{1} = (1, 0, 0), v_{2} = (0, 1, 0), v_{3} = (0, 0, 1), w = (1, 1, 1)

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12:48 Uhr, 30.12.2016

"vier von einander unabhängige Vektoren definieren"

Es gibt übrigens keine "voneinander unabhängige Vektoren". Unabhängig sind nicht die Vektoren selber, sondern Systeme (oder Mengen) von Vektoren.

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12:50 Uhr, 30.12.2016

Das wäre aber doch ein Widerspruch zur Definition von

w,

w

dann nicht mit

v_{1}

und

v_{2}

eine Basis bilden würde. Wenn

(v_{1}, v_{2}, w)

eine Basis bilden und

(v_{1}, v_{2}, v_{3})

eine Basis bilden, dann muss doch

w = Λ_{3} v_{3}

sein, sonst würde es entweder keine Basis bilden oder man hätte vier mögliche Basisvektoren, die alle untereinander linear unabhängig sind, was ja nicht sein kann.

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12:51 Uhr, 30.12.2016

Deine Schlussfolgerungen sind falsch. Betrachte mein Beispiel oben, vielleicht verstehst Du dann, warum.

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12:54 Uhr, 30.12.2016

Warum ist meine Schlussfolgerung falsch? In deinem Beispiel wäre

(v_{1}, v_{2}, w)

keine Basis, da wir

z . B

. den Vektor

(\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})

nicht darstellen könnten, aber unser

w

ist als Teil der Basis definiert.

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12:56 Uhr, 30.12.2016

"In deinem Beispiel wäre keine Basis"

Doch, das versichere ich Dir.

"da wir den Vektor

(2, 2, 2)

nicht darstellen könnten"

Mit Leichtigkeit.

(2, 2, 2) = 0 \cdot (1, 0, 0) + 0 \cdot (0, 1, 0) + 2 \cdot (1, 1, 1)

.

Schalte bitte Deinen Kopf ein, bis jetzt bist Du richtig neben der Spur.

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13:01 Uhr, 30.12.2016

Ok, ich scheine verstanden zu haben, was du meinst, aber inwieweit mir das jetzt bei meiner Aufgabe helfen soll weiß ich auch nicht.

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13:06 Uhr, 30.12.2016

Da ich eigentlich schon fast die ganze Lösung aufgeschrieben habe, hast Du wohl doch nicht alles verstanden. Es bleibt nur die Frage, was genau Du nicht verstanden hast.

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13:09 Uhr, 30.12.2016

Eigentlich habe ich jetzt alles so im Großteil verstanden, tut mir leid, dass ich so auf dem Schlauch stand. Ich bin im ersten Semester Physik und sitze seit 3 Tagen täglich

12

Stunden an diesen verdammten Aufgaben, die wir bekommen haben und mein Gehirn ist mittlerweile Matsch. Das Einzige, was mir noch fehlt, ist, wie ich beweise, das

Λ_{3}

ungleich 0 ist, aber du meintest ja, das sei einfach und ich versuche das jetzt irgendwie zu lösen, damit ich zumindest etwas in dieser Aufgabe selbst gemacht habe. Vielen Dank auf jeden Fall.

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13:21 Uhr, 30.12.2016

Kleiner Hinweis: beweise indirekt. Nimm also an, dass

λ_{3} = 0

und zeige Widerspruch.

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13:22 Uhr, 30.12.2016

Ok! Nochmals vielen Dank :-D)

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