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Basis ermitteln im Funktionenraum

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Funktionenraum, Lineare Algebra, Matrizenrechnung

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17:55 Uhr, 18.05.2012

Hallo, ihr Lieben,

(und wenn Paulus wieder dabei ist, würde ich mich freuen).

Es geht um ein ähnliches Problem(chen) wie vor 3 Tagen.

Sei

U

der von den Funktionen

1, sin (t), sin (2 t), {(sin (t))}^{2}, cos (t), cos (2 t), {(cos (t))}^{2}

erzeugte Unterraum im Raum aller reellwertigen Funktionen auf R. Bestimme die Dimension von

U,

wähle aus dem angegebenen Erzeugendensystem eine Basis aus und stelle die übrigen Funktionen dieses Erzeugendensystems als Linearkombination der gewählten Basiselemente dar.

Ich habe versucht, nach dem mir von Paulus gegebenem Lösungsweg weiterzukommen, leider ohne Erfolg. Um den von Paulus vorgeschlagenen Ansatz nachzuvollziehen, also aus der Gleichung

X 0 \cdot 1 + x 1 \cdot sin (t) + x 2 \cdot sin (2 t) + x 3 \cdot {(sin (t))}^{2} + x 4 \cdot cos (t) + x 5 \cdot cos (2 t) + x 6 \cdot {(cos (t))}^{2} = 0

nicht nur die zweifellos bestehende lineare Abhängigkeit der Funktionen (denn schließlich ist

{(cos (t))}^{2} = 1 - {(sin (t))}^{2}, cos (2 t) = 1 - 2 \cdot {(sin (t))}^{2}

etc.), sondern die Basisfunktionen zu ermitteln, aus denen sich alle weiteren Funktionen als Linearkombinationen darstellen lassen, könnte man für

t

in die obige Gleichung nacheinander die Werte

0 \cdot Π, \frac{2}{12} \cdot Π, \frac{3}{12} \cdot Π \frac{,4}{12} \cdot Π, \frac{6}{12} \cdot Π, \frac{8}{12} \cdot Π

und

\frac{9}{12} \cdot Π

einsetzten, um so ein System von 7 linearen Gleichungen zu erhalten. Das aber rechnerisch durchzuführen, ist kaum möglich (selbst der CAS streikt!).
Ich vermute, die Lösung ist viel einfacher, oder ???

Gruss an alle, die mir helfen wollen.

Youngster

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

OmegaPirat

21:12 Uhr, 18.05.2012

Hallo
alle angegebenen elemente des erzeugendensystems sind Linearkombinationen der Funktionen

e^{- 2 i x}

e^{- i x}

e^{0 x}

e^{i x}

e^{2 i x}

zwei funktionen

f (x) = e^{a x}

und

g (x) = e^{b x}

mit

a \neq b

und

a \neq 0

sind linear unabhängig. Beweis:

c_{1} \cdot e^{a x} + c_{2} \cdot e^{b x} = 0

ableiten ergibt:

c_{1} \cdot a \cdot e^{a x} + c_{2} \cdot b \cdot e^{b x} = 0

diese gleichung wird durch a geteilt und anschließend von der ersten gleichung subtrahiert

\Rightarrow

c_{2} \cdot \frac{b}{a} \cdot e^{b x} = 0

daraus folgt

c_{2} = 0

und damit

c_{1} = 0

also sind die funktionen linear unabhängig.
entsprechend sind dann auch oben genannte vier funktionen linear unabhängig.
Da alle angebenen funktionen des erzeugendensystems linearkombinationen dieser fünf linear unabhängigen funktionen sind, ist er aufgespannte funktionenraum fünf dimensional. Das sollte dir helfen.

oculus aktiv_icon

15:26 Uhr, 19.05.2012

Hallo omegapirat,

danke für deine Antwort, die ich mir erst noch durchdenken muss. Da der Funktionenraum ausdrücklich über

R

sein soll, frage ich mich allerdings, ob die e-Funktion mit imaginären Exponenten zugelassen ist.

Alles Gute

youngster

OmegaPirat

17:46 Uhr, 19.05.2012

Hallo

Die Exponentialfunktionen sind zwar (von

e^{0 i x}

abgesehen) keine Elemente des aufgespannten funktionenraums, aber letztlich betrachtest du ja auch nur linearkombinationen der e-funktionen, die elemente des funktionenraumes sind. Du brauchst über

ℂ

fünf funktionen, um alle angebenen funktionen darzustellen.

Um das klarer zu machen, nehme ich mal an, dass ich einen 2-dimensionalen

ℝ

-Funktionenraum habe. Die Basis ist gegeben durch zwei reelwertige Funktionen

f_{1} (x)

und

f_{2} (x)

. Dann lässt sich ein beliebiges element dieses raumes durch

f (x) = λ_{1} \cdot f_{1} (x) + λ_{2} (x)

mit

λ_{1}

und

λ_{2} \in ℝ

darstellen. es handelt sich hierbei um einen zweidimensionalen

ℝ

-Funktionenraum

Der Unterschied zum

ℂ

-Funktionenraum besteht nur darin, dass die

λ_{1}

und

λ_{2}

komplex sein können.
es gilt also für beliebige elemente des

ℂ

-funktionenraumes

f (x) = λ_{1} \cdot f_{1} (x) + λ_{2} \cdot f_{2} (x)

mit

λ_{1}, λ_{2} \in ℂ

So ein Funktionenraum enthält natürlich auch komplexwertige Funktionen.
es handelt sich um einen zweidimensionalen

ℂ

-Funktionenraum.

Die Exponentialfunktionen spannen einen fünfdimensionalen

ℂ

-Vektorraum auf. Die Exponentialfunktionen lassen sich zu einer neuen reellwertigen basis linear kombinieren. Diese neue reellwertige basis (die sinus und kosinusfunktionen) spannt den gleichen

ℂ

-Vektorraum auf. Man kann nun aber die

λ_{1}

und

λ_{2}

auf reelle zahlen einschränken, dann spannt die neue basis einen

ℝ -

Vektorraum gleicher Dimension auf.

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10:11 Uhr, 24.05.2012

Hallo, omegapirat,

danke für deine ausführliche Begründung deines Ansatzes.

youngster

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