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Basis finden!!!!
Universität / Fachhochschule
Tags: Lineare Algebra
 
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anonymous 11:39 Uhr, 19.06.2006  |
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Hallo zusammen! Habe am Donnerstag Prüfung und habe keine Ahnung wie man eine Basis findet... x1 x2 x3 1 1 1 1 0 2 0 2 -2 1 1 1 Aus diesem Erzeugendensystem soll ich eine Basis machen und die Dimension des Unterraums rauskriegen. Also der Rang ist 2...und dementsprechend auch die Dimension? Und das System ist dementsprechend abhängig...gibt Lambdas (-2,1,1) die den Nullvektor nicht-trivial darstellen. Aber wie komme ich nun an meine Basis? Schönen Start in die Woche wünscht Stef |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff) | |
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Hallo Stef Sind das jetzt 3 Vektoren x1, x2 und x3, deren Koordinaten du als Spalten geschrieben hast, oder sind das 4 Vektoren, deren Koordinaten du mit x1, x2 und x3 bezeichnet hast? Bitte um Mitteilung, dann werde ich mich mit der Aufgabe beschäftigen. Auch dir einen schönen Start in die neue Woche. Gruss Paul |
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anonymous 12:30 Uhr, 19.06.2006 |
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Hallo Paul, In der Anfrage steht: "Und das System ist dementsprechend abhängig...gibt Lambdas (-2,1,1) die den Nullvektor nicht-trivial darstellen." Das sind dann wohl "drei Lambdas" zu drei Vektoren, oder siehst Du das anders? |
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Hallo Paul, sorry, nein, sind nicht die Lambdas....sind die drei Vektoren aus dem IR^4, die so bezeichnet, waren...also drei Vektoren: x1,x2,x3 (is nur n bisschen verrutscht) mit je vier Elementen. 1000 Dank |
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Hallo Stef ja, der Rang (das sind ja die Anzahl der unabhängigen Vektoren) gibt die Dimension des Unterraumes an. Beim Eruieren des Ranges hast du sicherlich ein Verfahren angewendet, das dem Gauss-Algorithmus ähnelt. Wenn du bei allen Schritten, die du machst, noch dazunotierst, was für ein Vektor entsteht, kannst du die Idee vielleicht etwas besser nachvollziehen. Ich schreibe die Koordinaten der Vektoren also als Zeilen hin, und rechts daneben den dadurch dargestellten Vektor: 1 1 0 1 ¦ x1 1 0 2 1 ¦ x2 1 2 -2 1 ¦ x3 Jetzt mal Schritt für Schritt: um an der 1. Stelle der zweiten Zeile eine Null zu erhalten, substrahierst du die oberste Zeile; in der 2. Zeile steht dann also der Vektor x2-x1: 1 1 0 1 ¦ x1 0 -1 2 0 ¦ x2-x1 1 2 -2 1 ¦ x3 Um an der 1. Stelle der dritten Zeile eine Null zu erhalten, substrahierst du die oberste Zeile; in der 3. Zeile steht dann also der Vektor x3-x1: 1 1 0 1 ¦ x1 0 -1 2 0 ¦ x2-x1 0 1 -2 0 ¦ x3-x1 Um an der 2. Stelle der dritten Zeile eine Null zu erhalten, addierst du die zweite Zeile; in der 3. Zeile steht dann also der Vektor (x3-x1)+(x2-x1) = x3+x2-2x1 1 1 0 1 ¦ x1 0 -1 2 0 ¦ x2-x1 0 0 0 0 ¦ x3+x2-2x1 Um eine Basis zu bestimmen, kannst du einfach den Vektor nehmen, der am Anfang in den Zeilen stand, die nicht aus lauter Nullen bestehen. Hier sind das die erste und die zweite Zeile, somit bilden x1 und x2 eine Basis des Unterraums. Das siest du sicher leicht ein, wenn du mal die letzte Zeile betrachtet. Die besagt nämlich: x3+x2-2x1 = 0 (Nullvektor) das kannst du ja nach x3 auflösen: x3=2x1-x2 x3 lässt sich also mit Hilfe der ersten zwei Vektoren darstellen. Bei dieser Methode musst du einfach Acht geben, wann du eine Zeilenvertauschung vornimmst. Hättest du irgendwann mal die 2. und 3. Zeile vertauscht, dann wäre in der neuen 2. Zeile eben nicht x2, sondern x3 zu Beginn gestanden, und dieser wäre dann als Basisvektor zu nehmen. Alle klar? Gruss Paul |
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Aahhh...toll!! Vielen dank! Ja, ich hab den Gauss Algorithmus verwandt um an den Rang zu kommen...allerdings andersherum...aber das ist ja Wurscht, da Spaltenrang gleich Zeilenrang ist...aber zum finden der Basis ist das also wichtig die Vektoren zu transponieren? Damit ich hinterher weiss, welchen Vektor ich mit welchem darstellen kann? Dementsprechend haben also meine Lambdas (Koeffizienten) mit denen ich den Nullvektor darstellen konnte auch was mit der Basis zu tun? (-2,1,1). Letztenendes lässt sich ja so jeder der ursprünglichen Vektoren als Linearkombi der anderen darstellen! Aber nur 2 (wg. dim=2) dürften doch Basisvektoren sein? Ich hoffe, ich hab jetzt alles richtig verstanden! 1000 Dank nochmal, Paul..Du hast mir sehr geholfen! |
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anonymous 20:55 Uhr, 28.11.2006 |
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also...das, was paul geschrieben hat, versteh ich ja :) aber wie siehts aus wenn ich vier vektoren habe? nach meiner rechnung kann ich den vierten vektor v4 jetz mit hilfe von v1 und v2 darstellen, aber was ist mit v2? der kommt nicht vor!? please help me ..... lg david |
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