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Basis finden

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Finanzmathematik

Tags: basis, Unterraum

Nick2344 aktiv_icon

10:44 Uhr, 27.11.2017

Hallo, es geht um folgendes:

Man finde eine Basis für den linearen Unterraum

(v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4})

des des

R

-Vektorraums

R^{4},

wobei

v_{1} = {(1,2 - 1,0)}^{T} v_{2} = {(3,6, - 3, - 3)}^{T}, v_{3} = (0,1,3,4)

v_{4} = (2, 5, 1,4)

Soll ich dann alle Vektoren zeilenweise in deine Matrix schreiben und diese dann lösen:
Geht das auch spaltenweise?

Wenn ich die Matrix mit Gauß löse, erhalte ich 3 lin anabhängige Vektoren

(0,0,0,3), (0,1,3,4), (1,2, - 1,0)

Stimmt das?

Wenn ich jetzt die

v_{i}

als Linearkombination der Basisvektoren schreiben will , erhalte ich

v_{1} = 0 \cdot (0,0,0,3) + 0 \cdot (0,1,3,4) + 1 \cdot (1,2, - 1,0)

v_{2} = - 1 \cdot (0,0,0,3) + 1 \cdot (0,1,3,4) + 2 \cdot (1,2, - 1,0)

v_{3} = 0 \cdot (0,0,0,3) + 1 \cdot (0,1,3,4) + 0 \cdot (1,2, - 1,0)

v_{4} = 0 \cdot (0,0,0,3) + 1 \cdot (0,1,3,4) + 2 \cdot (1,2, - 1,0)

Stimmt das so?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

DrBoogie aktiv_icon

10:49 Uhr, 27.11.2017

"Soll ich dann alle Vektoren zeilenweise in deine Matrix schreiben und diese dann lösen"

Nicht lösen, sondern nur auf Stufennormalform bringne.

"Geht das auch spaltenweise?"

Theoretisch ja, aber dann müsste man Spaltenumformungen machen und keine Zeilenumformungen, also mit Gauss würde das nicht gehen. Daher lieber bei zeilenweise bleiben.

"Wenn ich jetzt die als Linearkombination der Basisvektoren schreiben will , erhalte ich"

v_{2}

passt nicht, prüfe die Rechnung.

Nick2344 aktiv_icon

10:51 Uhr, 27.11.2017

ups ja:

Es müsste heißen:

v_{2} = - 1 \cdot (0,0,0,3) + 0 \cdot (0,1,3,4) + 3 \cdot (1,2, - 1,0)

Sonst alles richtig?

DrBoogie aktiv_icon

10:53 Uhr, 27.11.2017

Ja, sonst passt es.

Nick2344 aktiv_icon

10:58 Uhr, 27.11.2017

Danke:-)
Dann hätte ich noch eine Frage:
Wenn ich eine Basis habe

{e_{1}, e_{2}, e_{3})

von einem K-Vektorraum E.
Sind die Vektoren:

{a e_{1} + b e_{2}, c e_{2} + d e_{3}, e e_{3} +

fe_1

}

eine Basis von

E

mit

a, b, c, d, e, f \in K

{

0}

Wie kann ich das sehen?

Nick2344 aktiv_icon

11:32 Uhr, 27.11.2017

Wenn ich ein Beipspiel nehme mit

e_{1} = (1, 0,0)

e_{2} = (0, 1,0)

e_{3} = (0,0, 1)

Sei

a = b = c = d = e = f = 1

Dann ist die neue Basis

(1,1,0), (0,1,1), (1,0,1)

Diese sind linear unabhängig, da das GLS Ax=0 nur die triviale Lösung liefert. Sind mit

e_{i}

die Vektoren der Standardbasis gemeint?

ledum aktiv_icon

12:08 Uhr, 27.11.2017

Hallo
wenn nichts anderes gesagt ist sind mit

e_{i}

die Standard Basisvektoren gemeint.
aber hier sind es wohl einfach 3 Lin unabhängige Basisvektoren, und du sollst das allgemein zeigen.
Gruß ledum

Nick2344 aktiv_icon

12:17 Uhr, 27.11.2017

Wie kann ich das machen. Kannst du mir einen Tipp geben?

DrBoogie aktiv_icon

12:23 Uhr, 27.11.2017

Nach Definition vorgehen: eine allgemein lineare Kombi schreiben und zeigen, dass die Koeffizienten alle 0 sind, wenn die Kombi selber 0 ist.

Z.B.

e_{1}, e_{2}

lin. unabhängig =>

e_{1}, e_{1} + 2 e_{2}

auch lin. unabhängig.
Beweis:

a e_{1} + b (e_{1} + e_{2}) = 0

(a + b) e_{1} + b e_{2} = 0

a + b = b = 0

, weil

e_{1}, e_{2}

lin. unabhängig =>

a = b = 0

Nick2344 aktiv_icon

14:14 Uhr, 27.11.2017

Also dann habe ich folgendes:

x (a e_{1} + b e_{2}) + y (c e_{2} + d e_{3}) + z (e e_{3} + {f e}_{1}) = 0

dann

(x a + z f) e_{1} + (x b + y c) e_{2} + (y d + z e) e_{3} = 0

e_{1}, e_{2}, e_{3}

lin unabh. gilt:

x a + z f = 0

x b + y c = 0

y d + z e = 0

Wie komme ich hier weiter?

DrBoogie aktiv_icon

14:20 Uhr, 27.11.2017

Du hast ein Gleichungssystem

A (x, y, z) = 0

mit

A = (\begin{array}{rcl} a & 0 & f \\ b & c & 0 \\ 0 & d & e \end{array})

.
Dieses System hat nur eine triviale Lösung (in dem Fall hast Du lineare Unabhängigkeit) <=>

\det (A) \neq 0

Nick2344 aktiv_icon

14:28 Uhr, 27.11.2017

Kann ich auch argumentieren, dass die Zeilen in der Matrix lin unabhängig sind und deshalb nur die triviale Lösung rauskommt?

DrBoogie aktiv_icon

14:34 Uhr, 27.11.2017

Kannst Du. Allerdings ist das nicht immer der Fall. Kommt auf die Werte von

a, b, c, d, e, f

an.

Nick2344 aktiv_icon

14:40 Uhr, 27.11.2017

Wie kriege ich es allgemein gültig hin ohne die Determinante zu verwenden?

Für welche werte

a, b, c, d, e, f

geht es denn nicht ?

DrBoogie aktiv_icon

14:43 Uhr, 27.11.2017

Die Bedingung ist

a c e + b d f \neq 0

.
Ohne Determinante ist es etwas mühsam, man muss Fallunterscheidungen machen und dann mit Gauss argumentieren.

Nick2344 aktiv_icon

14:47 Uhr, 27.11.2017

Da wir Determinanten noch nicht erwähnt haben, muss es über gauß gehen, was muss ich genau beachten. Zeilenstufenform herstellen?

DrBoogie aktiv_icon

14:56 Uhr, 27.11.2017

Fallunterscheidung

a \neq 0

oder

a = 0

.
1. Falls

a = 0

, so hast Du die Matrix

00 f

b c 0

o d e

Falls

f = 0

, sind die Zeilen linear abhängig (eine Nullzeile), falls

b = 0

, sind die Spalten linear abhängig (eine Nullspalte), falls

d = 0

, so sind 1. und 3. Zeile linear abhängig. Damit

a = 0

=> (linear unabhängig <=>

b d f \neq 0

).

2. Falls

a \neq 0

, dann zieht man von der 2. Zeile die 1. mal

b / a

a 0 f

0 c - b f / a

o d e

Weiter kann man nach

d = 0

und

d \neq 0

unterscheiden.

Nick2344 aktiv_icon

15:01 Uhr, 27.11.2017

Die zahlen sollen nach Voraussetzung ungleich 0 sein. Entfällt dann nicht die Fallunterscheidung?

DrBoogie aktiv_icon

15:04 Uhr, 27.11.2017

Ach so, richtig, hab's vergessen. Dann kann man direkt auf die Stufenform bringen.

Nick2344 aktiv_icon

15:07 Uhr, 27.11.2017

Dann müsste man es doch sofort sehen :-) Danke für deine Hilfe :-))))

DrBoogie aktiv_icon

15:09 Uhr, 27.11.2017

Sofort nicht, aber am Ende steht in der unteren Zeile

0, 0, e + \frac{b d f}{c a}

, damit ist die Bedingung

e + \frac{b d f}{c a} \neq 0

, was dasselbe ist wie

a c e + b d f \neq 0

Nick2344 aktiv_icon

15:12 Uhr, 27.11.2017

D . h

nur wenn diese letzte Sache gilt, habe ich eine Basis oder?

DrBoogie aktiv_icon

15:18 Uhr, 27.11.2017

Ja, genau

Nick2344 aktiv_icon

15:20 Uhr, 27.11.2017

Perfekt:-) Ich danke dir nochmals. Einen schönen Abend dir noch :-)

Nick2344 aktiv_icon

15:17 Uhr, 29.11.2017

Hallo, ich bins nochmal:
Ich habe nochmal eine Rückfrage zur Basisfindunh aus den gegegeben

v_{i}

.
Unsere Übungsleiter hat ein Beipsiel gemacht, in dem ee die

v_{i}

spaltenweise schreibt und dann die reduzierte Zeilenstufenform herstellt. Dann kann er die Basis ablesen und darüber hinaus, di Darstellung der vs die keine Basis sind aus den Basis bildenden

v_{i}

. Warum geht das. Du hast doch gesagt gauß geht nicht bei spaltenweiser Schreibweise?

Nick2344 aktiv_icon

15:17 Uhr, 29.11.2017

Hallo, ich bins nochmal:
Ich habe nochmal eine Rückfrage zur Basisfindung aus den gegegeben

v_{i}

.
Unsere Übungsleiter hat ein Beispiel gemacht, in dem ee die

v_{i}

spaltenweise schreibt und dann die reduzierte Zeilenstufenform herstellt. Dann kann er die Basis ablesen und darüber hinaus, die Darstellung der

v' s

die keine Basis sind aus den Basis bildenden

v_{i}

. Warum geht das. Du hast doch gesagt gauß geht nicht bei spaltenweiser Schreibweise?

DrBoogie aktiv_icon

15:57 Uhr, 29.11.2017

Da ich nicht genau weiß, was der Übungsleiter gemacht hat, kann ich nichts dazu sagen.

Ich meinte nur Folgendes: wenn ich Vektoren als Spalten aufschreibe und mit Gaus auf die Stufenform bringe, dann kann ich die neuen Spaltenvektoren nicht als Basis nehmen, denn sie müssen keine Basis sein.
Beispiel. Vektoren

(1, 1, 0)

und

(1, 1, 1)

sind linear unabhängig und sind eine Basis in dem von ihnen erzeugten Raum. Schreibe ich sie als Spalten und bringe die Matrix

(\begin{array}{rcl} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array})

mit Gauss auf Stufenform

(\begin{array}{rcl} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{array})

,
so habe ich vektoren

(1, 0, 0)

und

(1, 1, 0)

, aber

(1, 0, 0)

liegt überhaupt nicht in dem Raum, der von

(1, 1, 0)

und

(1, 1, 1)

erzeugt wird.

Nick2344 aktiv_icon

16:26 Uhr, 29.11.2017

Was kann ich dann mit der reduzierten ZSF überhaupt aussagen, auf mein Beipsiel mit den

v_{i}

bezogen? Es lohnt sich doch gar nicht diese zu bilden.Lieber dann zeilenweise und ZSF. Dann bekommt man doch alles?

DrBoogie aktiv_icon

16:28 Uhr, 29.11.2017

"Was kann ich dann mit der reduzierten ZSF überhaupt aussagen"

Wie ich schon sagte - ich weiß nicht, was der Übungsleiter erklärt hat, daher kann nichts dazu beitragen.

Nick2344 aktiv_icon

17:22 Uhr, 29.11.2017

Er hat folgendes gemacht. Es geht um das gleiche wie in meiner Aufgabe aus meinem 1. Post, nur dass wir 5 Vektoren als

v_{1}

bis

v_{5}

. Diese schreibe ich spaltenweise in eine Matrix:

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})

In reduzierter ZSF sieht es so aus:

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Daraus liest er ab, dass

v_{4}

kein Basisvektor sein kann, da es dort keinen Stufenanfang gibt. Die restlichen

v_{i}

bilden eine Basis und

v_{4} = \frac{1}{2} v_{1} - \frac{1}{2} v_{3}

Du hast gesagt,dass man nicht unbedingt aus der reduzierten ZSF die Basiselemte ablesen kann. Vor allem warum kann man die Koeffizieten für

v_{4}

aus den Basis

v_{i}

so ablesen?

DrBoogie aktiv_icon

18:09 Uhr, 29.11.2017

"Du hast gesagt,dass man nicht unbedingt aus der reduzierten ZSF die Basiselemte ablesen kann."

Das habe ich nicht gesagt, ich weiß nicht mal, was eine reduzierte ZSF ist.
Ich meinte ganz normale Stufenform, nichts mit reduziert.
Da ich nicht weiß, was es ist und wie man sie berechnet, kann ich nichts weiter sagen.

Nick2344 aktiv_icon

18:11 Uhr, 29.11.2017

Die reduzierte ZSF ist die Form, wo die Stufen alle 1 sind und darüber und darunter 0 steht.

Nick2344 aktiv_icon

18:17 Uhr, 29.11.2017

"Du hast gesagt,dass man nicht unbedingt aus der reduzierten ZSF die Basiselemte ablesen kann."

Das habe ich nicht gesagt-

Wann kann ich die Elemente den ablesen?

DrBoogie aktiv_icon

18:43 Uhr, 29.11.2017

Reduzierte ZSF bekommt man nicht mit Gauss, sondern mit Gauss-Jordan. Das ist ein anderes Verfahren. Ich sprach nur vom Gauss bis jetzt.
Gauss-Jordan kenne ich nicht besonders, aber bestimmt wurde er in der Vorlesung erklärt.

Nick2344 aktiv_icon

18:57 Uhr, 29.11.2017

Nochmal danke:-) Dann bleib ich bei dem reinen Gauß. War ja so richtig am Anfang:-)

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