Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Basis für 2 U-Vektorräume bestimmen

Basis für 2 U-Vektorräume bestimmen

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Lineare Gleichungen, Untervektorraum, Vektorraum

mod32 aktiv_icon

16:51 Uhr, 31.03.2018

Hallo,

ich habe 2 Vektorräume

U

und

V

gegeben, diese haben jeweils eine Bedingung und Form einer linearen Gleichung.
Ich soll nun eine Basis für den Schnitt bei der Vektorräume bestimmen.
Leider komme ich auf ein falsches Ergebnis...
Mein Ansatz:

U : {(x 1, x 2, x 3, x 4) | x + 2 x 2 = x 3 + 2 x 4}

V : {(x 1, x 2, x 3, x 4) | x 1 = x 2 + x 3 + x 4}

Nach passendem Umstellen der Gleichungen komme ich so auf

x 2 + x 3 + x 4

x 2

x 1 + 2 x 2 - 2 x 4

x 4

(als Matrix geschrieben vorstellen)

Also:

x 2 \cdot (1,1,2,0) + x 4 \cdot (1,0, - 2,1)

Ich dachte eig, somit zwei Vektoren für meine Basis gefunden zu haben.
Bloß: Bilde ich mit ihnen einen Vektor, erfüllt dieser nicht mehr die obigen Bedingungen.

Was mache ich falsch?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

michaL aktiv_icon

18:37 Uhr, 31.03.2018

Hallo,

> U:{(x1,x2,x3,x4)|x+2x2=x3+2x4}

Ich nehme an, die

U

beschreibende Gleichung soll

x_{1} + 2 x_{2} = x_{3} + 2 x_{4}

lauten?!

Du hast dann zwei Gleichungen mit den vier Unbekannten

x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}

, also ein LGS mit 2 Gleichungen und 4 Unbekannten.
Um eine Basis zu finden, müssen die Vektoren

(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array})

beide Gleichungen, also das LGS erfüllen.
Da das LGS unterbestimmt ist (es gibt mehr Variablen als linear unabhängige Gleichungen), wirst du Freiheiten haben, Variablen zu wählen. Damit man sehen kann, welche wählbar sind und welche nicht, solltest du das LGS in Normalform bringen. Die sieht nachher vermutlich so aus:

x_{1} = k \cdot x_{3} + l \cdot x_{4}

x_{2} = m \cdot x_{3} + n \cdot x_{4}

Dann siehst du, dass

x_{3}

und

x_{4}

unabhängig voneinander gewählt werden können.
Um nun zu Basisvektoren zu kommen, wählt man (nur in der Situation oben!) einmal

x_{3} = 1

und

x_{4} = 0

(sofern

k, l, m, n \neq 0

gilt, sonst Sonderfall!) und einmal umgekehrt.
Daraus ergäben sich folgende Vektoren:

(\begin{array}{c} k \\ m \\ 1 \\ 0 \end{array})

(

x_{3} = 1

x_{4} = 0

) und

(\begin{array}{c} l \\ n \\ 0 \\ 1 \end{array})

(

x_{3} = 0

x_{4} = 1

).

Da beide offensichtlich linear unabhängig sind, wären das dann 2 Basisvektoren.

Für den Fall, dass das System nur Rang 1 hat (oben bin ich vom Rang 2 ausgegangen), ergibt sich, dass beide Untervektorräume identisch sind. Du kannst dann die eine Gleichung (etwa

x_{1} + 2 x_{2} = x_{3} + 2 x_{4}

) nach

x_{1}

auflösen. Da du dann 3 Freiheitsgrade hast, wählst du immer eine der drei Variablen

x_{2}

x_{3}

x_{4}

als 1 (Eins) und die anderen beiden als 0 (Null). Auf diese Weise würdest du wieder drei linear unabhängige Vektoren erhalten, de dann Basis de beiden Untervektorräume wären.

Noch anbei: Es täte euch (allen) gut, unterbestimmte Gleichungssysteme lösen zu lernen!

Mfg Michael

mod32 aktiv_icon

17:36 Uhr, 01.04.2018

Hallo Michael!

Hm, habe ich nicht genau das getan?
Habe die beiden Bedingungen so umgeformt, dass ich erhalte:

x 1 = . .

x 3 = . .

.

somit entstehen die freien Variablen

x 2

und

x 4

.
Für diese habe ich dann je einmal 0 und einmal 1 gewählt.

Offenbar ist mein Lösungsweg falsch, aber für mich sieht er stark nach dem aus, was du vorschlägst.

michaL aktiv_icon

17:50 Uhr, 01.04.2018

Hallo,

> Hm, habe ich nicht genau das getan?

Ja, hast du nicht.

Bei dir kommen tatsächlich noch alle 4 Variablen vor, wobei doch klar sein sollte, dass der Rang des Systems maximal 2 sein kann.
Demnach können höchstens 2 Variablen abhängige sein, demnach mindestens 2 frei wählbar.

Lies dir doch noch einmal die Anleitung durch und fülle mit den entsprechenden Rechenschritten auf. Dann wirst du schon sehen!

Frohe Ostern!

Mfg Michael

mod32 aktiv_icon

07:38 Uhr, 03.04.2018

Guten Morgen!

Irgendetwas verstehe ich noch nicht...
Habe die beiden Gleichungen nun mal in Normalform geschrieben, das sieht dann folgendermaßen aus:

x 1 + 2 \cdot x 2 - 2 \cdot x 4

x 3 + 2 \cdot x 4

Daraus bekomme ich aber keine Basis bestimmt...
Kannst du es mir an dem konkreten Beispiel erläutern?

ledum aktiv_icon

10:41 Uhr, 03.04.2018

Hallo
was du da hingeschrieben hast sind doch nicht die 2 Gleichungen, die du hast?

x_{1} + 2 \cdot x_{2} - x_{3} - 2 \cdot x_{4} = 0

x_{1} - x_{2} - x_{3} - x_{4} = 0

die erste von der zweiten abgezogen ergibt bei mir

- 3 x_{2} + 3 x_{4} = 0

also

x_{3} = x_{4}

jetzt das einsetzen .
vielleicht zeigst du mal deinen Rechenweg, und nicht nur wie in dem post 2 Ausdrücke, von denen man nicht weiss, was sie sein sollen.
Gruß ledum

mod32 aktiv_icon

11:29 Uhr, 03.04.2018

Habe versucht, Gauß auf die beiden Gleichungen anzuwenden und dann Variablen zu eliminieren.
Irgendwie ergibt's aber keinen rechten Sinn...

Ich frage mal konkreter: Was muss ich denn tun, um auf die oben genannte Normalform zu bringen? Da ist nämlich mein Problem... das anschließende Aufstellen der Vektoren und passende Wählen der freien Variablen wäre keine Schwierigkeit.

Bummerang

15:29 Uhr, 03.04.2018

Hallo,

Du hast zwei Unterräume des

ℝ^{4}

gegeben, die, genau wie Du das geschrieben hast, jeweils durch eine lineare Gleichung definiert werden. So wird

U

beschrieben durch:

x_{1} + 2 \cdot x_{2} = x_{3} + 2 \cdot x_{4}

Das in die Normalform zu bringen heisst einfach die Gleichung so umzustellen, dass die Unbekannten auf der einen Seite des Gleichheitszeichens stehen und auf der anderen Seite nur noch eine Konstante. Das sieht für

U z . B

. so aus:

x_{1} + 2 \cdot x_{2} - x_{3} - 2 \cdot x_{4} = 0

Analog ergibt sich aus der Definition für

V :

x_{1} = x_{2} + x_{3} + x_{4}

die Normalform:

x_{1} - x_{2} - x_{3} - x_{4} = 0

Jeder Vektor aus dem Durchschnitt muss BEIDE Gleichungen erfüllen, also gilt für den Durchschnitt:

x_{1} + 2 \cdot x_{2} - x_{3} - 2 \cdot x_{4} = 0

x_{1} - x_{2} - x_{3} - x_{4} = 0

oder in Matrixschreibweise:

(\begin{matrix} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 1 & - 1 & - 1 & - 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

Wendet man darauf den Gauss an, so kann man

z . B

. die erste Zeile einfach von der zweiten Zeile abziehen:

(\begin{matrix} 1 & 2 & - 1 & - 2 \\ 0 & - 3 & 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

Jetzt könnte man aufhören mit dem Gauss und die Lösung ermitteln, aber man kann auch mit der vierten Spalte fortfahren, da dort schon eine 1 steht. Wenn man also die zweite Zeile zwei Mal zur ersten Zeile addiert, erhält man:

(\begin{matrix} 1 & - 4 & - 1 & 0 \\ 0 & - 3 & 0 & 1 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})

Jetzt sieht man, dass man die Werte für

x_{2}

und

x_{3}

beliebig wählen kann und sich

x_{1}

und

x_{4}

als Lösungen der folgenden Gleichungen ergeben:

x_{1} - 4 \cdot x_{2} - x_{3} = 0 \Leftrightarrow x_{1} = 4 \cdot x_{2} + x_{3}

- 3 \cdot x_{2} + x_{4} = 0 \Leftrightarrow x_{4} = 3 \cdot x_{2}

Wählt man für

x_{2}

den Parameter

λ

und für

x_{3}

den Parameter

μ,

dann ergibt sich als Lösungsvektor:

(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \cdot λ + μ \\ λ \\ μ \\ 3 \cdot λ \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \cdot λ + 1 \cdot μ \\ 1 \cdot λ + 0 \cdot μ \\ 0 \cdot λ + 1 \cdot μ \\ 3 \cdot λ + 0 \cdot μ \end{matrix}) = λ \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) + μ \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1420893

1420632

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?