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Vektorräume

Tags: Vektorraum

Sting aktiv_icon

23:02 Uhr, 18.11.2009

Bilde eine Basis zu:

U_{2} = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}) ℝ^{4} | x_{1} + 3 x_{2} + x_{3} = 0, x_{1} + x_{3} + x_{4} = 0}

Nun, da ich den

ℝ^{4}

Raum habe würde ich erstmal sagen das ich 4 linear Unabhängige Vektoren benötige, aber durch die 2 Bedingungen die gegeben sind nurnoch

2,

ist das soweit richtig?

Habe als Vektoren nun

(1, 0, - 1, 0) & (- 1, 1, - 2, 3)

gefunden.

a)

Ist meine überlegung richtig?

b)

Wie komm ich rechnerisch auf die Lösung?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

michaL aktiv_icon

00:00 Uhr, 19.11.2009

Hallo,

du fragtest:
> Nun, da ich den ℝ4 Raum habe würde ich erstmal sagen das ich 4 linear Unabhängige Vektoren
> benötige, aber durch die 2 Bedingungen die gegeben sind nurnoch 2, ist das soweit richtig?

Im wesentlichen ja. Das einzige Problem könnte dabei auftreten, dass die beiden Bedingungen nicht unabhängig voneinander sind, damit gewännst du wieder eine Dimension hinzu.
Beispiel:

x = 0

y = 0

und

x^{2} + y^{2} = 0

sehen nach drei Bedingungen aus, tatsächlich sind es aber nur zwei.

Du wolltest weiter wissen:
> b) Wie komm ich rechnerisch auf die Lösung?

Nun, das ist wieder einfacher. Deine beiden Bedingungen bilden ein lineares Gleichungssystem, dass du auf Dreiecksform bringst (per Gauss-Algorithmus). Das sähe etwa so aus:

x_{1} + 3 x_{2} + x_{3} \dots = 0

x_{1} \dots \dots + x_{3} + x_{4} = 0

bzw:

1.3.1.0 ∣ 0

(Punkte sind dazu da, 1 3 nicht als 13 zu lesen)

1.0.1.1 ∣ 0

1.0.1.1 ∣ 0

0.3.0 . - 1 ∣ 0

So etwa würde ich das lassen. Man erkennt, dass die erweiterte Matrix Rang 2 hat (maximalen Rang). Es lassen sich also zwei Variablen wählen. Es bieten sich

x_{3}

und

x_{4}

an, auf jeden Fall kann man daraus

x_{1}

und

x_{2}

berechnen.
Jetzt wählt man die beiden (

x_{3}

und

x_{4}

) in Kombination aus 0 und 1, d.h. einmal

x_{3} = 1

und

x_{4} = 0

und das andere Mal

x_{3} = 0

und

x_{4} = 1

. Daraus ergibt sich als erster Vektor:

(- 1; 0; 1; 0)^{T}

(das entspricht deiner ersten Lösung)
Als zweiter Vektor:

(- 1; \frac{1}{3}; 0; 1)^{T}

Auf diese Weise erhältst du Vektoren mit möglichst vielen Nullen.

Mfg Michael

Sting aktiv_icon

00:12 Uhr, 19.11.2009

OK, Danke!
Dann war ich zum Glück ja garnicht so weit weg von der Lösung. Will kein extra Thema erstellen, aber kannst du mir zu einer weiteren Aufgabe noch nen Tipp geben?

U_{1}

ist eine 3 Dimensionaler Vektorraum von

ℝ^{4}

es sind mir die 3 Basisvektoren bekannt, alle unabhängig.

U_{2}

hat ebenfalls 3 Vektoren angegeben, allerdings ist einer davon linear Abhängig, somit

dim = 2

.

Nun soll ich noch

dim (U_{1} + U_{2})

und

dim (U_{1}

durschnittsmenge

U_{2})

errechnen.
Dimensionsformel ist mir bekannt. Nur weiss ich nicht wie ich die Dim der Schnittmenge oder die Dim der Summe errechnen lässt.

michaL aktiv_icon

14:43 Uhr, 19.11.2009

Hallo,

wenn ich mich richtig erinnere, gilt:

dim (U_{1} + U_{2}) = dim (U_{1}) + dim (U_{2}) - dim (U_{1} \cap U_{2})

.

Am einfachsten findest du also

dim (U_{1} \cap U_{2})

heraus, indem du das LGS löst, das sich daraus ergibt, dass die Bedingungen für

U_{1}

und

U_{2}

gleichzeitig gelten müssen.

Dann wendest du die Formel an.

Mfg Michael

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