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Bestimmen Sie eine Basis und die Dimension des Vektorraums, der durch folgende Vektoren aufgespannt wird und entscheiden Sie, ob die gegebenen Vektoren linear abhängig oder unabhängig sind: 1 1 2 0 2 4 1 3 4 3 9 das sind die genannten Vektoren Die Matrix die sich daraus ergibt ist folgende: . . . . 4 . . . . . . . 8 . . . . sorry die punkte musste ich einfügen, damit die zahlen der Matrix ersichtlich werden Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.) |
Hierzu passend bei OnlineMathe: Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, fassen wir mal zusammen: Du hast es geschafft, Deine Aufgabe irgendwie halbwegs lesbar hier einzustellen. Dir anzusehen wie man das schöner machen kann, war Dir schon zu viel. Die Stelle, an der Du nun ein konkretes Problem hast, konntest oder wolltest Du nicht spezifizieren, weil Du ja sowieso eine vollständige Lösung haben willst, obwohl Du die Voraussetzungen dafür, nämlich eigene Ansätze und Zwischenergebnisse hier einzustellen, komplett ignoriert hast. Dieses Forum ist kein mathematisches Schlaraffenland, wo man nur die Aufgabe einstellen brauch und einm dann die vollständigen Lösungen zufliegen, wie die gebratenen Hühnchen im originalen Schlaraffenland, sobald man den Mund aufgemacht hat. |
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Tut mir leid, irgendwie habe ich nur die Hälfe verschickt und es war mir vorher nicht aufgefallen. Also die Matrix habe ich schon in eine Gaußform gebracht. Ich hoffe ich habe richtig gerechnet... man schreibt die Vektoren Quer um die Matrix zu bekommen und stellt ja dann um Die letzte Zeile ist eine Nullzeile. Ich verstehe nicht, ob die Zeilen linear unabhängig sind, woran mache ich das fest... ich hatte mir schon eine Beispielaufgabe angeguckt aber ich habe die Erklärung nicht verstanden. Und wie genau mache ich auch mit der Nullzeile eine Basis? bedeutet das und die Basis wäre somit: ? |
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Hallo, Du hast die Vektoren Und daraus die Matrix erstellt. Ich versuche mal, Deine Gauss-Schritte nachzuvollziehen: 1. Schritt: das 1-fache der 1-ten Zeile von 3-ter Zeile abziehen UND das 3-fache der 1-ten Zeile von 4-ter Zeile abziehen 2. Schritt: 2-te Zeile durch 2 teilen UND 3-te Zeile durch 2 teilen UND 4-te Zeile durch 3 teilen 3. Schritt: das 1-fache der 2-ten Zeile von 1-ter Zeile abziehen UND das 1-fache der 2-ten Zeile von 3-ter Zeile abziehen UND das 2-fache der 2-ten Zeile von 4-ter Zeile abziehen 4. Schritt: das 1-fache der 3-ten Zeile von 4-ter Zeile abziehen UND 3-te Zeile durch teilen 5. Schritt: das 2-fache der 3-ten Zeile von 2-ter Zeile abziehen Da sich, wie bei Dir, vorn eine Einheitsmatrix ergibt, sollten eigentlich alle Werte gleich sein. Sind sie nicht und meine Aufgabe ist es nicht, sondern Deine, also schlage ich vor, dass Du mal Deine und meine Lösung durchgehst, einer von uns beiden hat sich mindestens verrechnet! Im wichtigen Ergebnis sind jedoch beide Lösungen identisch: Es entsteht eine Nullzeile! Das heisst, dass der ursprünglich in dieser Zeile stehende Vektor sich als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lässt. Das heisst aber, dass die 4 gegebenen Vektoren nicht lienar unabhängig gewesen sind, sie sind also linear abhängig! Es gibt über drei Zeilen eine Einheitsmatrix. Das heisst, dass die zu diesen Zeilen gehörenden Vektoren linear unabhängig sind. Egal in welcher Form! In der Ausgangsform: oder in der "letzten" Form: In jedem Fall bilden diese drei Vektoren eine Basis des Unterraumes, der von den vier gegebenen Vektoren aufgespannt wird! |
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Alles klar Dankeschön, ich hatte Fehler in der Matrix das habe ich jetzt gesehen, danke dafür! Und die Dimension entspricht der Anzahl der Vektoren, die die Basis bilden korrekt? In diesem Fall die Dimension 3 dieses Vektorraumes. |
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Hallo ja. ledum |
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