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Basis und Dimension des Vekrorraums

Universität / Fachhochschule

Relationen

Tags: basis, dimension, linear unabhängig, Vektorraum

 
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Stitchy101

Stitchy101 aktiv_icon

14:05 Uhr, 05.12.2018

Antworten
Bestimmen Sie eine Basis und die Dimension des Vektorraums, der durch folgende Vektoren aufgespannt wird und entscheiden Sie, ob die gegebenen Vektoren linear abhängig oder unabhängig sind:
1
1
2
-3
4,

0
2
4
-6
6,

1
3
4
-5
8,

3
9
15
-21
27,
das sind die genannten Vektoren
Die Matrix die sich daraus ergibt
ist folgende:

1... 1... 2.... -3.... 4
0... 2... 4.... -6....6
1... 3... 4.... -5.... 8
3... 9... 15.. -21.. 27
sorry die punkte musste ich einfügen, damit die zahlen der Matrix ersichtlich werden

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
Bummerang

Bummerang

14:30 Uhr, 05.12.2018

Antworten
Hallo,

fassen wir mal zusammen:

Du hast es geschafft, Deine Aufgabe irgendwie halbwegs lesbar hier einzustellen. Dir anzusehen wie man das schöner machen kann, war Dir schon zu viel. Die Stelle, an der Du nun ein konkretes Problem hast, konntest oder wolltest Du nicht spezifizieren, weil Du ja sowieso eine vollständige Lösung haben willst, obwohl Du die Voraussetzungen dafür, nämlich eigene Ansätze und Zwischenergebnisse hier einzustellen, komplett ignoriert hast. Dieses Forum ist kein mathematisches Schlaraffenland, wo man nur die Aufgabe einstellen brauch und einm dann die vollständigen Lösungen zufliegen, wie die gebratenen Hühnchen im originalen Schlaraffenland, sobald man den Mund aufgemacht hat.
Stitchy101

Stitchy101 aktiv_icon

14:40 Uhr, 05.12.2018

Antworten
Tut mir leid, irgendwie habe ich nur die Hälfe verschickt und es war mir vorher nicht aufgefallen.

Also die Matrix habe ich schon in eine Gaußform gebracht.
Ich hoffe ich habe richtig gerechnet... man schreibt die Vektoren Quer um die Matrix zu bekommen und stellt ja dann um
10000
0101-2
001-23
00000

Die letzte Zeile ist eine Nullzeile.
Ich verstehe nicht, ob die Zeilen linear unabhängig sind, woran mache ich das fest... ich hatte mir schon eine Beispielaufgabe angeguckt aber ich habe die Erklärung nicht verstanden.

Und wie genau mache ich auch mit der Nullzeile eine Basis?

bedeutet das a(10000)+b(0101-2)+c(001-23)
und die Basis wäre somit:
(10000),(0101-2),(001-23)?
Antwort
Bummerang

Bummerang

15:07 Uhr, 05.12.2018

Antworten
Hallo,

Du hast die Vektoren

(112-34)  ;  (024-66)  ;  (134-58)  ;  (3915-2127)

Und daraus die Matrix

(112-34024-66134-583915-2127)

erstellt. Ich versuche mal, Deine Gauss-Schritte nachzuvollziehen:

1. Schritt: das 1-fache der 1-ten Zeile von 3-ter Zeile abziehen      UND      das 3-fache der 1-ten Zeile von 4-ter Zeile abziehen

(112-34024-66022-24069-1215)

2. Schritt: 2-te Zeile durch 2 teilen      UND      3-te Zeile durch 2 teilen      UND      4-te Zeile durch 3 teilen

(112-34012-33011-12023-45)

3. Schritt: das 1-fache der 2-ten Zeile von 1-ter Zeile abziehen      UND      das 1-fache der 2-ten Zeile von 3-ter Zeile abziehen      UND      das 2-fache der 2-ten Zeile von 4-ter Zeile abziehen

(10001012-3300-12-100-12-1)

4. Schritt: das 1-fache der 3-ten Zeile von 4-ter Zeile abziehen      UND      3-te Zeile durch (-1) teilen

(10001012-33001-2100000)

5. Schritt: das 2-fache der 3-ten Zeile von 2-ter Zeile abziehen

(1000101011001-2100000)

Da sich, wie bei Dir, vorn eine Einheitsmatrix ergibt, sollten eigentlich alle Werte gleich sein. Sind sie nicht und meine Aufgabe ist es nicht, sondern Deine, also schlage ich vor, dass Du mal Deine und meine Lösung durchgehst, einer von uns beiden hat sich mindestens verrechnet!

Im wichtigen Ergebnis sind jedoch beide Lösungen identisch:

Es entsteht eine Nullzeile! Das heisst, dass der ursprünglich in dieser Zeile stehende Vektor (3915-2127) sich als Linearkombination der anderen Vektoren darstellen lässt. Das heisst aber, dass die 4 gegebenen Vektoren nicht lienar unabhängig gewesen sind, sie sind also linear abhängig!

Es gibt über drei Zeilen eine Einheitsmatrix. Das heisst, dass die zu diesen Zeilen gehörenden Vektoren linear unabhängig sind. Egal in welcher Form! In der Ausgangsform:

(112-34)  ;  (024-66)  ;  (134-58)

oder in der "letzten" Form:

(10001)  ;  (01011)  ;  (001-21)

In jedem Fall bilden diese drei Vektoren eine Basis des Unterraumes, der von den vier gegebenen Vektoren aufgespannt wird!
Stitchy101

Stitchy101 aktiv_icon

15:23 Uhr, 05.12.2018

Antworten
Alles klar Dankeschön,
ich hatte Fehler in der Matrix das habe ich jetzt gesehen, danke dafür!
Und die Dimension entspricht der Anzahl der Vektoren, die die Basis bilden korrekt?
In diesem Fall die Dimension 3 dieses Vektorraumes.
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

23:16 Uhr, 06.12.2018

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Hallo
ja.
ledum
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