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Basis und Dimension vom Bild(f) bestimmen
Universität / Fachhochschule
Lineare Abbildungen
Tags: basis, Bild, dimension, Linear Abbildung
 
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Hallo, Ich hab da mal ein Problem mit der bestimmung vom Bild(f): Die Aufgabe ist so: Betrachten Sie den Homomorphismus von (über vektor bestimmen Sie Basen von Kern und Bild . Kern hab ich bereits gemacht, aber mit dem Bild komme ich nicht weiter und die Definition hilft mir auch nicht wirklich im(f):=ein es existiert ein Ich hab mal auch eine Definition gefunden das im(f)=Span(f(b1), f(b2),...,f(bn)) ist, habs aber mit dem nicht auf die Reihe gebracht, bn sollen die Basiselemente sein. Wenn ich da aber die einheitsvektoren als Basiselemente nehme kommt mir im(f)=Span(f(1,0,0), span((2),(1),(-2)) raus. Mein Mitstudent meint es soll die Standardbasis in herauskommen, also . Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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"Wenn ich da aber die einheitsvektoren als Basiselemente nehme kommt" In Wirklichkeit kommt da raus. Beliebige zwei von diesen drei stellen eine Basis dar. |
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Das hab ich auch fast gehabt. Trotzdem verstehe ich immer noch nicht, wie man das Bild bestimmt, gibts da noch einen anderen weg? Und wie ist es mit der Dimension? dim Kern(f) ist dann dim Bild(f) weil man bei gestartet hat? Ich bin in diesem gebiet total verwirrt :-P) |
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"wie man das Bild bestimmt, gibts da noch einen anderen weg?" Es gibt viele Wege, aber der Weg über die Bilder der Basisvektoren ist immer noch der einfachste. "Und wie ist es mit der Dimension? dim Kern(f) =1, ist dann dim Bild(f) =2 weil man bei ℝ3 gestartet hat?" Ja. Und weil man eine Basis aus zwei Vektoren hat. |
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Wieso 2 Vektoren, ich dachte man schickt ein Vektor aus nach a+bi in ? |
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Die Vorschrift ist oben gegeben: . Diese Abbildung schickt nach , nach und nach . Damit ist das Bild durch diese drei "Vektoren" erzeugt. Aber sie bilden keine Basis, weil sie linear abhängig sind. Um eine Basis zu bekommen, muss man also einen davon rausschmeißen, dann bleibt der Rest linear unabhängig und immer noch erzeugend und damit Basis. |
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Also damit ich es richtig verstehe, noch eine kurze Zusammenfassung: Ich habe drei 1-Dimensionale Vektoren bekommen, nämmlich und und eine Basis davon ist . Basis Bild(f)= weil der Vektor sich aus zusammenstellen lässt? |
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"Ich habe drei 1-Dimensionale Vektoren bekommen" Sie sind 2-dimensional. Komplexe Zahlen kann man bekanntlich als Punkte einer Ebene darstellen, dann entspricht einer reelen Zahl der Vektor und der Zahl der Vektor . Das Paar ist eine Basis, weil es erzeugend ist, aber auch weil es ein linear unabhängiges System ist. Damit kann man auch sagen, dass das Bild=, weil jede komplexe Zahl erzeugen. |
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Und in dem Fall kann ich das dann auch als schreiben. Dann bedanke ich mich herzlich für die Hilfe :-) |
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