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Basis und Dimension von Vektorräumen

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Vektorraum

Knabb aktiv_icon

03:35 Uhr, 13.01.2020

Gegeben sind folgende vier Untervektorräume des

R 3

. Geben sie jeweils (ohne Beweis) eine Basis und die Dimension des Untervektorraums an.

V_{1} =

{{(x, y, z)}^{t}

∈

R 3 | x = y = z}

V_{2} =

{{(x, y, z)}^{t}

∈

R 3 | x = 3 y}

V_{3} =

V_{1}

∩

V_{2}

und

V_{4} =

V_{1} + V_{2}

Habe Verständnisprobleme.

V 1

hat kann man ja darstellen als

s \cdot {(1, 1, 1)}^{t} .

. Wäre dann

{(1, 1, 1)}^{t}

die basis und die dimension deswegen 1? Bei den anderen weiß ich nicht wirklich weiter..

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

pwmeyer aktiv_icon

12:07 Uhr, 13.01.2020

Hallo,

man kann das verschieden anfassen. Eine Möglichkeit: Vektoren im

ℝ^{3}

haben die Form

(x, y, z)

(ich lass mal

^t

weg) mit beliebigen

x, y, z

. Für

V_{2}

kommt eine einschränkende Bedingung dazu, nämlcih

x = 3 \cdot y,

also geht nur noch

(3 \cdot y, y, z)

. Jetzt zerlegt man in Vektoren, die nur

y

enthalten und solche die nur

z

enthalten:

(3 \cdot y, y,0) + (0,0, z) = y \cdot (3,1,0) + z \cdot (0,0,1)

. Also ist eine Basis

{{(3,1,0)}^{t}, {(0,0,1)}^{t}}

.

Für

V_{3}

gelten ja die Bedingungen von

V_{1}

und die von

V_{2}

. Welche Möglichkeiten bleiben dann ncoh für

x, y, z

?

Gruß pwm

Knabb aktiv_icon

21:33 Uhr, 13.01.2020

Verzeih bitte meine verspätete Antwort. Für

V 3

muss gelten, dass

x = y

aber auch, dass

x = 3 y

ist. Das scheint nur mit

{(0, 0, 0)}^{t}

zu sein.

pwmeyer aktiv_icon

10:36 Uhr, 14.01.2020

Hallo,

warum geht

{(0,0,1)}^{t}

nicht?

Gruß pwm

Knabb aktiv_icon

18:43 Uhr, 14.01.2020

Es muss ja

x = y = z

gelten wegen

V 3,

oder?

pwmeyer aktiv_icon

09:22 Uhr, 15.01.2020

Hallo,

ja, Du hast recht - entschuldige, ich hatte die Aufgabe falsch im Kopf.

Gruß pwm

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