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Basis und Dimension von Vektorräumen

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Vektorraum

 
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Knabb

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03:35 Uhr, 13.01.2020

Antworten
Gegeben sind folgende vier Untervektorräume des R3. Geben sie jeweils (ohne Beweis) eine Basis und die Dimension des Untervektorraums an.

V1= df {(x,y,z)tR3|x=y=z}

V2= df {(x,y,z)tR3|x=3y}

V3= df V1V2 und V4= df V1+V2

Habe Verständnisprobleme. V1 hat kann man ja darstellen als s(1,1,1)t.. Wäre dann (1,1,1)t die basis und die dimension deswegen 1? Bei den anderen weiß ich nicht wirklich weiter..



Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Antwort
pwmeyer

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12:07 Uhr, 13.01.2020

Antworten
Hallo,

man kann das verschieden anfassen. Eine Möglichkeit: Vektoren im 3 haben die Form (x,y,z) (ich lass mal ^t weg) mit beliebigen x,y,z. Für V2 kommt eine einschränkende Bedingung dazu, nämlcih x=3y, also geht nur noch (3y,y,z). Jetzt zerlegt man in Vektoren, die nur y enthalten und solche die nur z enthalten: (3y,y,0)+(0,0,z)=y(3,1,0)+z(0,0,1). Also ist eine Basis {(3,1,0)t,(0,0,1)t}.

Für V3 gelten ja die Bedingungen von V1 und die von V2. Welche Möglichkeiten bleiben dann ncoh für x,y,z?

Gruß pwm
Knabb

Knabb aktiv_icon

21:33 Uhr, 13.01.2020

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Verzeih bitte meine verspätete Antwort. Für V3 muss gelten, dass x=y aber auch, dass x=3y ist. Das scheint nur mit (0,0,0)t zu sein.
Antwort
pwmeyer

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10:36 Uhr, 14.01.2020

Antworten
Hallo,

warum geht (0,0,1)t nicht?

Gruß pwm
Knabb

Knabb aktiv_icon

18:43 Uhr, 14.01.2020

Antworten
Es muss ja x=y=z gelten wegen V3, oder?
Antwort
pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

09:22 Uhr, 15.01.2020

Antworten
Hallo,

ja, Du hast recht - entschuldige, ich hatte die Aufgabe falsch im Kopf.

Gruß pwm
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