Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Basis und Rang einer Matrix

Basis und Rang einer Matrix

Universität / Fachhochschule

Lineare Unabhängigkeit

Tags: basis, injektiv, Lineare Unabhängigkeit, Matrix, Rang einer Matrix, surjektiv

FragenCookie aktiv_icon

23:22 Uhr, 20.04.2015

Hallo,
ich habe ein paar Fragen bezüglich Aufgaben, die ich lösen muss.
Es sei eine Abbildung

R^{4} \to R^{3},

die gegeben ist durch die Matrix

(\begin{matrix} - 3 & 2 & - 1 & - 1 \\ - 3 & 1 & 1 & - 2 \\ 8 & - 2 & - 4 & 6 \end{matrix})

1. Bestimmen Sie eine Basis von Bild(f)
2. Welchen Rang hat die Matrix
3. Ist

f

surjektiv?
4. Ist

f

injektiv?

Ich habe Ansätze, aber ich weiß nicht, ob sie richtig sind.
Was ich gedacht hätte:
zu 1.
Spaltenvektoren als Zeilen schreiben und per Gauss vereinfachen, damit ich die linear unabhängigen Spalten finde.
hier habe ich zwei Nullzeilen, am Ende bleibt übrig:

((3,3, - 8), (0,3, - 10), (0,0,0), (0,0,0))

Also

{(\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ - 8 \end{matrix}), ((\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ - 10 \end{matrix})}

eine Basis

2. Der Rang folgt aus Aufgabe

1,

also ist der Rang 2

3. Rand

= 2 \to

dim(Bild(f))

= 2

und ungleich

dim (R^{3})

also nicht surjektiv
da dachte ich mir, dass wenn dim(Bild(f))

= dim (R^{3})

gilt, dann ist es surjektiv, aber hier stimmt das nicht.

4. Injektiv ist es auch nicht, weil Anzahl der Nullzeilen bei 1. zwei ist, also ist dim(Kern(f))

= 2

und deswegen injektiv.

Sind meine Gedanken richtig?
Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung
Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren