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Basis vom Bild einer Matrix

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung

vielevielefragen aktiv_icon

00:07 Uhr, 19.02.2019

Hallo,

ich suche nach einem Algorithmus, mit dem man immer das Bild einer Matrix berechnen kann.

Wenn

A \in ℝ^{m, n}

eine Matrix ist und ich die Basisvektoren des

ℝ^{n}

abbilde und diese Bilder aufspanne, erhalte ich dann nicht schon die Bildmenge?

Ein Beispiel um das zu verdeutlichen:

Sei

A = (\begin{matrix} a_{1,1} & a_{1,2} \\ a_{2,1} & a_{2,2} \end{matrix}) \in ℝ^{2,2}

.

Dann gilt

A \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1,1} \\ a_{2,1} \end{matrix})

A \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1,2} \\ a_{2,2} \end{matrix})

und damit Bild(A) = span

{(\begin{matrix} a_{1,1} \\ a_{2,1} \end{matrix}), (\begin{matrix} a_{1,2} \\ a_{2,2} \end{matrix})},

wobei die Vektoren natürlich auch linear abhängig, oder der Nullvektor sein können.

Ist das im allgemeinen Fall gültig, oder habe ich einen Denkfehler?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

pwmeyer aktiv_icon

08:58 Uhr, 19.02.2019

Hallo,

ja die Spalten der Matrix A bilden immer eine erzeugende Menge für das Bild unter A (also für die lineare Abbildugn

x \to A \cdot x)

Gruß pwm

vielevielefragen aktiv_icon

18:53 Uhr, 19.02.2019

Danke

godzilla12 aktiv_icon

13:20 Uhr, 20.02.2019

Der Casus cnactus. In Wiki findest du " Satz und Definition ( der Basis ) " ; als Hausaufgabe bitte auswändig lernen.
Dort findest du vier äquivalente Bedingungen, die erfüllt sein müssen, damit eine Vektorenfamilie eine Basis bildet. Gleich unter Ziffer eins heißt es

" EINDEUTIG Erzeugendes "

Ich sage dies, weil es bei so Aufgaben meist darum geht, welche der Bildvektoren eine Basis bilden.
Uns haben sie immer gesagt, die matrixspalten seien die Bilder der kanonischen Einheitsvektoren.

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