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Basis von Quotientenraum / Faktorraum berechnen
Universität / Fachhochschule
Vektorräume
Tags: Vektorraum
 
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Ich versuche die Aufgabe d) zu lösen. a), b) und c) sind sehr einfach, weil W ein Unterraum von U ist. Das hat zur Folge dass U+W=U und der Schnitt gleich W ist. Also ist der Quotientenraum U/W. Die Dimension des Quotientenraumes ist 1 (dim U/W = dim U - dim W). Meinem Verständnis nach müsste der Quotientenraum die Ebene U in unendliche viele Geraden unterteilen die parallel zu W stehen. Meine Idee war dass man wenn man einen Vektor u aus U findet, der senkrecht zu W steht (also Skalarprodukt mit dem einen Vektor der Basis von W wäre 0) und der ungleich 0 ist, die Basis als {u+W} beschreiben könnte. Dazu nenne ich die Koeffizienten in der Linearkombination der Basis von U a und b, berechne das Skalarprodukt von dem Vektor denn ich erhalte und dem Vektor aus der Basis von W und verlange dass das Ergebnis gleich 0 ist. Durch umstellen erhalte ich -13a/18=b. Dann setze ich a=1 und setze das in die Linearkomb. der Basis von U ein und erhalte so mein u. Meine Frage ist jetzt: Ist irgendetwas grundsätzlich falsch an meinem Gedankengang und wird die Basis (von U/W) als {u+W},u+W (mit dem berechneten Vektor eingesetzt für u und W einfach als Buchstabe) oder ganz anders beschrieben. Hoffe jemand kann mir dabei weiterhelfen.  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff) |
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Es ist nie die Basis, sondern eine Basis, weil Basis nicht eindeutig ist. Weil in diesem Fall Dim(U/W)=1, reicht ein Element aus U/W, der nicht Null ist, um eine Basis zu bilden. Dabei braucht man nicht unbedingt den senkrechten Vektor. Jeder Vektor aus U\W ist gut. |
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Okay, aber wenn ich einen Vektor u aus U\W gefunden habe mit dem ich eine Basis von U/W bilden möchte schreibe ich dann dass diese Basis {u}, {u+W} oder u+W ist? |
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ist die korrekte Schreibweise, denn Basis ist eine Menge. |
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