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Basis von linearen Hüllen

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Vektorräume

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Vektorraum

anonymous

15:04 Uhr, 07.02.2021

Hallo liebe Leute!

ich in mir bei der im Anhang stehenden Aufgabe nicht sicher :|
Wie kann ich beim Bestimmen von Basen bei linearen Hüllen vorgehen und vor allem, wie geht man mit der Addition bzw. dem Durchschnitt von A und B um?

LG, Po11e

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

pwmeyer aktiv_icon

17:51 Uhr, 07.02.2021

Hallo,

Lineare Hülle bedeutet:

A = < a_{1}, a_{2}, a_{3} >

ist der Unterraum aller

x \in ℝ^{4},

die eine Darstellung der Form

x = s_{1} \cdot a_{1} + s_{2} \cdot a_{2} + s_{3} \cdot a_{3} (s_{i} \in ℝ)

haben. Die Menge

{a_{1}, a_{2}, a_{3}}

bildet also ein Erzeugendensystem. Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Du musst also jetzt

{a_{1}, a_{2}, a_{3}}

auf lineare Unabhängigkeit prüfen. Nach Definition untersuchst Du dafür das lineare Gleichungssystem

s_{1} \cdot a_{1} + s_{2} \cdot a_{2} + s_{3} \cdot a_{3} = 0

Wenn alle

s_{i} = 0

sind, sind die 3 Vektoren linear unabhängig und bilden eine Basis. Wenn Du aber in der Lösungsmenge des Gleichungssystems zum Beispiel

s_{2}

frei wählen kannst, dann ist

a_{2}

abhängig von

a_{1}, a_{3}

und kann aus dem Erzeugendensystem gestrichen werden.

Was die Sache mit dem Durchschnitt angeht: Wir wissen:

x \in A \cap B

genau dann, wenn

x

zu A gehört und ebenfalls zu B. Also hat

x 2

Darstellungen:

x = s_{1} \cdot a_{1} + s_{2} \cdot a_{2} + s_{3} \cdot a_{3} = t_{1} \cdot b_{1} + t_{2} \cdot b_{2}

(Falls Du schon festgestellt hast, dass A oder

B

eine kleinere Basis haben, kannst Du auch die verwenden.) Das ist ein Gleichungssystem für

s_{1}, s_{2}, s_{3}, t_{1}, t_{2}

. Das musst Du lösen und erhältst eine Darstellung für die Elemente des Durchschnitts.

Bezüglich

A + B :

Ein Erzeugendensystem für

A + B

ist

(a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{1}, b_{2})

Daraus musst Du eine Basis auswählen....

Gruß pwm

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