Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Basis zeigen, Matrixdarstellung Ableitungsoperator

Basis zeigen, Matrixdarstellung Ableitungsoperator

Universität / Fachhochschule

Lineare Unabhängigkeit

Tags: Ableitungsoperator, basis, Lineare Unabhängigkeit, Matrixdarstellung

LittleSunshine90 aktiv_icon

14:51 Uhr, 14.10.2010

He!

Und hier ist schon die nächste Aufgabe, bei der ich nicht weiter weiß! :(

Aufgabe A:

Zeige, dass $B = {x^{2} - 1, x^{2} - 3 x + 2, x^{2} - x - 2}$ eine Basis von $R_{2}$ [x] ist und bestimme die Koordinatenvektoren der Polynome 1, x, $x^{2}$ bezgl. dieser Basis.

Aufgabe B:

Berechne die Matrixdarstelung ${[D]}_{B, B}$ des Ableitungsoperators D: $R_{2}$ [x] -> $R_{2}$ [x], der gegeben ist durch D( $a x^{2} + b x + c$ )=2ax+b, bzgl. der Basis B.

Meine Überlegungen zu A:

Um zu zeigen, dass B eine Basis ist, muss ich nur zeigen, dass die einzelnen vektoren nicht linear abhänig sind. (also kein vielfache der anderes) => hab daher einfach dividiert und gesehen, dass immer ein Rest bleibt. Wie funktioniert nun die Bestimmung der Koordinatenvektoren?

Meine Überlegungen zu B:

Ich hab leider keine Ahnung. =/

Danke für eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

teppich aktiv_icon

15:48 Uhr, 14.10.2010

Die Idee, lineare Unabhängigkeit zu zeigen ist schon ein guter Ansatz, allerdings bedeutet lineare Unabhängigkeit, dass sich der Nullvektor nur als triviale Linearkombination der Elemente darstellen läßt.
Also

x, y, z

sind linear unabhängig, wenn

a x + b y + c z = 0 \Rightarrow a = 0, b = 0, c = 0

Du hast einen 3-dimensionalen Vektorraum mit einer gegebenen Basis

A = {x^{2}, x, 1}

.

Man kann eine Matrix

M_{A}^{B}

aufstellen, die eine Basistransformation von B nach A darstellt. Die Spalten sind gerade die Bilder der Basisvektoren. (Diese Richtung ist einfach)
Basistransformation von A nach B leistet die Inverse der Matrix

M_{B}^{A} = (M_{A}^{B})^{- 1}

Die Ableitung läßt sich recht leicht bezüglich der Basis A als Matrix darstellen. Auch hier sind die Spalten der Abbildungsmatrix wieder die Bilder der Basisvektoren.

LittleSunshine90 aktiv_icon

16:53 Uhr, 14.10.2010

danke für deine hilfe!
bsp A hab ich nun gelöst (mit hilfe von koeffizientenvergleich, und dann die matrizen aufgestellt :) )

nur weiß ich noch immer nicht wie ich bsp B löse!

teppich aktiv_icon

17:13 Uhr, 14.10.2010

D (a x^{2} + b x + c) = 2 a x + b

vektoriell bedeutet dies bzgl. A:

D_{A, A} (\begin{array}{rcl} a \\ b \\ c \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 2 a \\ b \end{array})

Betrachtet man die Bilder der Basisvektoren von A beim Ableiten, so erbegen sich die Spalten von

D_{A, A}

.

möchte man nun einen beliebigen Vektor bzgl. Basis B ableiten, so muß man erst auf Basis A transformieren

(M_{A}^{B})

, dann "ableiten"

(D_{A}^{A})

und wieder zurücktransformieren auf B

(M_{B}^{A})

LittleSunshine90 aktiv_icon

21:52 Uhr, 15.10.2010

danke! :) jetzt is mir alles klar!

schönes wochenende!

804595

804139

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?