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Basis zu einem Eigenraum bestimmen

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Lineare Unabhängigkeit

Matrizenrechnung

Tags: basis, Eigenraum, Eigenwert, Lineare Unabhängigkeit, Matrizenrechnung

EdYoung aktiv_icon

17:26 Uhr, 22.12.2017

Hallo,

ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe.

Gegeben sei die Matrix

A = (\begin{matrix} 4 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \end{matrix}),

zu der ich die Eigenwerte und die dazu gehörenden Eigenvektoren sowie die Basis jedes Eigenraumes berechnen soll.

Die Eigenwerte lauten:

- 2, 3, 4,

wobei 4 die algebraische Vielfachheit 2 besitzt.

Die Eigenvektoren sind wie folgt:

λ = - 2 : v_{1} = (\begin{matrix} \frac{1}{9} \\ - \frac{1}{18} \\ - \frac{2}{3} \\ 1 \end{matrix})

λ = 3 : v_{2} = (\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

λ = 4 : v_{3} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \cdot t + (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) \cdot s

Die Eigenräume sind:

E_{- 2} = L {(\begin{matrix} \frac{1}{9} \\ - \frac{1}{18} \\ - \frac{2}{3} \\ 1 \end{matrix})}

E_{3} = L {(\begin{matrix} - 1 \\ - 2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})}

E_{4} = L {(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})}

Meine Frage ist nun, wie ich eine Basis des jeweilien Eigenraumes berechnen kann. Ich habe bereits im Internet ein wenig darüber recherchiert, aber nichts Brauchbares gefunden.
Ich bin mir zwar nicht sicher, aber könnte es sein, dass der zu einem Eigenraum gehörende Eigenvektor bereits eine Basis des Eigenraumes bildet und ich mit der Angabe des Eigenraumes bereits fertig bin?
Wenn nicht, dann bitte ich um eine verständliche Erklärung, wie ich eine Basis eines Eigenraumes berechnen kann.

Lieben Gruß
- EdYoung

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

pwmeyer aktiv_icon

17:33 Uhr, 22.12.2017

Hallo,

wenn Du richtig gerechnet hast, bist Du fertig. Du hast 2 Eigenräume der Dimension 1 und einen der Dimension 2. Dafür hast Du jeweils eine Basis angegeben.

Gruß pwm

michaL aktiv_icon

17:38 Uhr, 22.12.2017

Hallo,

> ... könnte es sein, dass der zu einem Eigenraum gehörende Eigenvektor bereits eine Basis des Eigenraumes
> bildet ...?

Wenn du es richtig anstellst, dann ja.
Eigenartig, wie sehr das Lösen unterbestimmter linearer Gleichungssysteme, wie sie in der Eigenwerttheorie auftreten, doch immer wieder Probleme bereitet.

Bei unterbestimmten Systemen hast du zu wenig (linear unabhängige) Gleichungen, um alle Variablen bestimmen zu können. (Daher auch der Name.)
Man setzt für die noch freien Variablen (Welche das sind, hängt davon ab, in welche Form man das System gebracht hat.) immer für eine eine 1 und für die verbliebenen 0 ein.
Das macht man so oft, wie man freie Variablen hat.
Auf diese Weise gewährleistet man, dass die entstehenden Vektoren linear unabhängig sind.
Und dann, ja, dann bilden die hervorgebrachten Vektoren eine Basis des Lösungsraums (Was das auch immer sein mag, ist kontextabhängig.).

Mfg Michael

EdYoung aktiv_icon

14:04 Uhr, 25.12.2017

Vielen Dank. Eure Antworten haben mir sehr geholfen.

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