Basis zum Hauptraum zum Eigenwert

Hall�chen :)

Ich habe hier eine Matrix ${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\left(\begin{array}{ccc}-6& 5& 3\\ -8& 7& 4\\ -2& 1& 1\end{array}\right)\mathrm{.}}$ und muss eine Basis B von ${\displaystyle {\mathrm{ℂ<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3}$, so dass Die Matrix A bez�glich B in Jordan-Normalform ist, bestimmen.

Bisher habe ich berechnet:

Das charakteristische Polynom ${\displaystyle {\mathrm{\rho <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1)}^2}$.

${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1}$=0 ist Eigenwert von A mit alg. Vielfachheit ${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=1}$.

${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2=1}$ ist Eigenwert von A mit alg. Vielfachheit ${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2}$=2.

Weiterhin ist die geom. Vielfachheit von ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1}$ und ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2}$, ${\displaystyle {\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=1={\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2}$.

Eine Basis des Eigenraums zum Eigenwert 1 ist ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\\ -1\end{array}\right)}$ und zum Eigenwert 0 haben wir eine Basis ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\\ 2\end{array}\right)}$.

Nun zu meinem Problem:

Ich will eine Basis zum Hauptraum zum Eigenwert 1 bestimmen..

Hier gilt meinen Wissens nach:

Habe der Eigenwert ${\displaystyle \mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ von A die alg. Vielfachheit k, dann ist:

${\displaystyle \mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{(\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}1)}^{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ der Hauptraum zum Eigenwert ${\displaystyle \mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ und dessen Basis ist zu bestimmen.

In meinem Fall w�re das ja dann ${\displaystyle \mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{(\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-1*1)}^2=\mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\left(\begin{array}{ccc}-7& 5& 3\\ -8& 6& 4\\ -2& 1& 0\end{array}\right)}^2}$ (Sorry habe das Symbol f�r die Einheitsmatrix nicht gefunden...)

Irgendwie komme ich hier aber nicht auf das richtige Ergebnis :/

Ich hoffe Ihr k�nnt mir helfen :)

Hier mal was ich gerechnet habe:

.$$\begin{gathered} {\displaystyle \mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\left(\begin{array}{ccc}-7& 5& 3\\ -8& 6& 4\\ -2& 1& 0\end{array}\right)}^2=\mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\begin{array}{ccc}3& -2& -1\\ 0& 0& 0\\ 6& -4& -2\end{array}\right)=\mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\begin{array}{ccc}3& -2& -1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)\mathrm{.} \\ \Rightarrow {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2=\mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3=\mathrm{\beta <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{.}} \end{gathered}$$

Nach 1. Zeile: ${\displaystyle 3{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1-2\mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{\beta <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0\iff {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=\frac{2}{3}\mathrm{\alpha <mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\frac{1}{3}\mathrm{\beta <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$.

Die Basis zum Hauptraum zum Eigenwert 1 ist dann

${\displaystyle \left\{\right(\begin{array}{c}\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\\ 3\end{array}),(\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ 3\end{array}\\ 0\end{array}\left)\right\}}$, was aber leider nicht mit der L?sung ?bereinstimmt :/

Laut L�sung muss ${\displaystyle \left\{\right(\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\\ -1\end{array}),(\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\\ 3\end{array}\left)\right\}}$ rauskommen.

Meinst du ich muss x2=b und x3=a wählen? Das würde doch nichts am Ergebnis ändern oder?

Kann mir keiner helfen? :/

Hallo pwmeyer,

Ich verstehe nicht so ganz was du meinst mit "2. und 3. Komponente vertauscht".

Kannst du mir das mal mit ner Rechnung zeigen?

Ist denn mein Weg bis ${\displaystyle \mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\begin{array}{ccc}3& -2& -1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)}$ richtig oder habe Ich hier schon einen Fehler gemacht?

Gruß

Kilian

Meinst du dies:

${\displaystyle \mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\begin{array}{ccc}-6& 5& 3\\ -8& 7& 4\\ -2& 1& 1\end{array}\right)=\mathrm{...}=\left\{\right(\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\\ 2\end{array}\left)\right\}}$.

Und mit ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}2\\ 3\end{array}\\ 0\end{array}\right)}$ gilt: ${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}3\\ 5\end{array}\\ -1\end{array}\right)\notin \mathrm{K<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)\mathrm{.}}$

?

Also ich habe A*x unterschiedlich berechnet:

$$\begin{gathered} {\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}3\\ 4\end{array}\\ 1\end{array}\right) \\ \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\left(\begin{array}{c}2\\ \begin{array}{c}3\\ 0\end{array}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}3\\ 5\end{array}\\ -1\end{array}\right) \\ \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}*\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}8\\ 10\end{array}\\ 4\end{array}\right) \\ \mathrm{.} \\ \mathrm{.} \\ \mathrm{.} \\ \mathrm{.}} \end{gathered}$$

So es kommt nie der 0-Vektor raus, d.h. der Vektor x ist nicht im Ker(A). Das gleicht habe ich mit dem 2. Vektor (1,3,0) gemacht, kommt auch nie der 0-Vektor raus...

Also beide Vektoren nicht im Kern(A) ?

Kann mir mal bitte jemand sagen wie ich auf ${\displaystyle \left(\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\\ -1\end{array}\right)}$ bei der Basis zum Hauptraum zum Eigenwert 1: ${\displaystyle \left\{\right(\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\\ -1\end{array}),(\begin{array}{c}\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\\ 3\end{array}\left)\right\}}$komme???

Sitze hier schon so lange dran und komme echt nicht weiter!!