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Basis zum Schnitt aus U und W finden

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Basis des Unterraumes, Vektorraum

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13:32 Uhr, 05.07.2012

Hallo,

ich bin mir nicht sicher ob ich folgende Aufgabe richtig gelöst habe:

Im Vektorraum

V = R 4

betrachte man die Unterräume

U = {a | a 2 + a 3 + a 4 = 0}, W = {a | a 1 + a 2 = 0, a 3 = 2 a 4}

. Suche eine Basis von U∩W und ergänze sie zu je einer Basis von

U

und W.

Ausgerechnet habe ich:
Ein Basisvektor von U∩W ist:

(3 a_{4}, - 3 a_{4}, 2 a_{4}, a_{4}),

also zB:

(3, - 3,2,1)

die Basisvektoren von

U

sind:

(0, - 1,1,0), (0, - 1,0,1), (1,0,0,0)

Basisvektoren von

W : (- 1,1,0,0), (0,0,2,1)

(Vektoren alle linear unabhängig innerhalb des Untervektorraums und liegen auch jeweils im betreffenden Untervektorraum)

Aber die Aufgabe ist ja die Basis von U∩W zu suchen. Ist es korrekt, den Basisvektor von U∩W und 2 beliebige Basisvektoren aus

U

und

W

zu nehmen, also zB:
Basis von U∩W ist:

(3, - 3,2,1), (1,0,0,0), (0,0,2,1)

(3

Vektoren, da Dim des Schnitts der Unterräume=3; Vektoren sind linear unabhängig)

Es wäre sehr nett, wenn mir jmd weiter helfen könnte.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Bummerang

14:02 Uhr, 05.07.2012

Hallo,

"Ist es korrekt, den Basisvektor von U∩W und 2 beliebige Basisvektoren aus

U

und

W

zu nehmen"

Du hast folgendes ermittelt:

Basis von

U : 3

Vektoren

\Rightarrow dim (U) = 3

Basis von

W : 2

Vektoren

\Rightarrow dim (W) = 2

Weiterhin gelten die ganz allgemeinen Mengengesetze:

U ⋂ W \subseteq U

UND

U ⋂ W \subseteq W

und damit

dim (U ⋂ W) \leq dim (U) = 3

UND

dim (U ⋂ W) \leq dim (W) = 2

\Rightarrow dim (U ⋂ W) \leq 2

.

Da kannst Du zu dem einen gefundenen Vektor nicht noch 2 linear unabhängige Vektoren aus

U ⋂ W

finden, das ist ausgeschlossen! Werde Dir erst einmal klar, welche Dimension

U ⋂ W

hat. Die Dimension ist 1. Warum? Weil es in

W

Vektoren gibt, die nicht in

U

liegen,

z . B

. Deine beiden Basisvektoren für

W!

Folglich gilt:

dim (U ⋃ W) > dim (U) = 3 \Rightarrow dim (U ⋃ W) = 4 \Rightarrow U ⋃ W = ℝ^{4}

Und weil gilt:

dim (U ⋃ W) = dim (U) + dim (W) - dim (U ⋂ W)

4 = 3 + 2 - dim (U ⋂ W)

ist

dim (U ⋂ W) = 1

.

Diesen einen einzigen Basisvektor von

U ⋂ W

kannst Du nun beliebig mit linear unabhängigen Vektoren aus den Basen von

U

bzw.

W

zu neuen Basen von

U

bzw.

W

ergänzen.

"3 Vektoren, da Dim des Schnitts der Unterräume=3; Vektoren sind linear unabhängig"

Dass

dim (U ⋂ W)

nicht 3 sein kann, habe ich bereits erläutert, die lineare Unabhängigkeit von 3 Vektoren ist nur eine Forderung für eine Basis, die andere ist, dass die Vektoren der Basis ein Erzeugendensystem bilden. Das setzt voraus, dass die Basisvektoren selbst in der Menge liegen müssen und liegt

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) i n U ⋂ W

? Oder etwa

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

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14:10 Uhr, 05.07.2012

Vielen Dank!!! Das erklärt einiges, dann muss ich im Tutorium irgendwas falsch aufgeschnappt haben.

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