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Basis zur darstellenden Matrix Dreiecksmatrix

Universität / Fachhochschule

Tags: basis, darstellende, Dreiecksmatrix, Matrix, obere, rechte

daniel7 aktiv_icon

17:57 Uhr, 28.06.2015

Hallo,
ich habe folgende Aufgabe gegeben:

Entscheiden, ob sich die Matritzen

A = (\begin{matrix} - 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 2 & - 1 \end{matrix})

und

B = (\begin{matrix} - 1 & 0 & 1 \\ - 2 & 1 & - 3 \\ - 1 & 1 & - 3 \end{matrix})

auf eine obere Dreiecksform bringen lassen; gib gegebenfalls eine Basis A und

B

von RR³ an, so daß die darstellende Matrix von

F_{A}

bzw.

F_{B}

bezüglich der Basen A bzw.

B

eine rechte obere Dreiecksmatrix ist.

Lösung:

Das charakteristische Polynom für A zerfällt in Linearfaktoren

\to

Triagonalisierbar
Das charakteristische Polynom für

B

zerfällt NICHT in Linearfaktoren

\to

Nicht Triagonalisierbar

Soweit bin ich gekommen. Mittlerweile habe ich sämtliche Websites und Bücher die ich zur Verfügung habe durchsucht wie ich hier jetzt weiter machen muss.
Der Lösungsansatz zu einer ähnlichen Aufgabe schlägt vor die Eigenvektoren zu berechnen, daraus die Basis bauen und zu diagonalisieren (was ja auch eine Dreiecksmatrix werden würde).
Aber ich sehe es schon richtig, dass das hier nicht gewünscht ist, oder? Wäre froh, wenn Ihr mir einen Tipp geben könntet wie ich die Aufgabe lösen kann.

Viele Grüße,
Daniel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung
Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

Bondeus aktiv_icon

20:02 Uhr, 28.06.2015

Wenn sie Diagonalisierbar ist, dann kannst du das machen. Der Problemfall ist doch, wenn die Matrix trigonalisierbar ist, aber nicht diagonalisierbar. Zum trigonalisieren berechnest du dann einen Eigenvektor und erweiterst diese zur Basis

B

des Vektorraums. Jetzt führst eine Basistransformation durch von deiner derzeitigen Basis zur Basis B. Den Eigenvektor mach ich normalerweise immer zum 1. Basisvektor und alle weiteren zum 2.

, 3

. und so weiter. Sie jetzt

T

die Transformationsmatrix und A deine gegebene Matrix. Dann erhälst du deine neue Matrix

B :

T^{- 1} \cdot A \cdot T = B

T

steht deine Basis

B

als Spaltenvektoren mit der Spalte ganz links als deinen Eigenvektor.
Für

R^{3} :

(\begin{matrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{4} & x_{5} & x_{6} \\ x_{7} & x_{8} & x_{9} \end{matrix}) = A

mit Eigenwert

λ_{1}

(3-Fach) mit dem Eigenvektor

(\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})

T = (\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & b_{4} \\ a_{2} & b_{2} & b_{5} \\ a_{3} & b_{3} & b_{6} \end{matrix})

T^{- 1} \cdot (\begin{matrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{4} & x_{5} & x_{6} \\ x_{7} & x_{8} & x_{9} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & b_{4} \\ a_{2} & b_{2} & b_{5} \\ a_{3} & b_{3} & b_{6} \end{matrix}) = (\begin{matrix} λ_{1} & c_{1} & c_{4} \\ 0 & c_{2} & c_{5} \\ 0 & c_{3} & c_{6} \end{matrix})

B

hat jetzt in der 1. Spalte nur noch im obersten Eintrag den Eigenwert stehen und ansonsten nur Nullen. Jetzt betrachtest du die Untermatrix (die Matrix ohne die 1. Zeile und Spalte). Von dieser "berechnest" du die Eigenwerte(bleibt natürlich

λ_{1})

und dann einen Eigenvektor

(\begin{matrix} z_{1} \\ z_{2} \end{matrix})

. Den Eigenvektor erweiterst du nun zur Basis des

R^{2}

.
Jetzt schaut das ganze so aus:

S = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & z_{1} & y_{1} \\ 0 & z_{2} & y_{2} \end{matrix})

S^{- 1} T^{- 1} \cdot (\begin{matrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ x_{4} & x_{5} & x_{6} \\ x_{7} & x_{8} & x_{9} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} a_{1} & b_{1} & b_{4} \\ a_{2} & b_{2} & b_{5} \\ a_{3} & b_{3} & b_{6} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & z_{1} & y_{1} \\ 0 & z_{2} & y_{2} \end{matrix}) =

deine trigonalisierte Matrix

daniel7 aktiv_icon

23:43 Uhr, 28.06.2015

Vielen Dank schon mal. Das hat bereits einiges klarer werden lassen.
Ich habe aber noch ein Problem bei der Durchführung der Basistransformation, bzw. wie ich dies nun explizit machen soll.

Um kurz meine aktuellen Ergebnisse darzulegen:

Als Eigenwerte habe ich:

- 1, 1

herausgefunden
Die zugehörigen Eigenvektoren wären:

v_{1} = λ \cdot {(1, 0, 1)}^{T}; λ \in ℝ

v_{2} = μ \cdot {(- 1, - 1,1)}^{T}; μ \in ℝ

Ich erweitere

v_{1}

und

v_{2}

mit einem davon lin. unabhängigen Vektor

v_{3} = {(0,1,0)}^{T}

zu einer Basis des

R^{3}

.

Wenn ich das nun richtig verstanden habe muss ich von meiner Standardbasis

(\begin{matrix} 1,0,0 \\ 0,1,0 \\ 0,0,1 \end{matrix})

zur Basis

(v_{1}, v_{2}, v_{3})

transformieren.
Wie führe ich dies konkret durch?

Bondeus aktiv_icon

08:46 Uhr, 29.06.2015

Du hast gegeben deine Matrix A. Du stellst deine Matrix

T

auf; in die erste Spalte ist dein erster Eigenvektor, in de zweiten dein 2. und in der 3. dein Vektor

(0,1,0)

. Jetzt berechnest du

B

mit

B = T^{- 1} \cdot A \cdot T

. Diese neue Matrix

B

ist die Matrix zu deiner neuen Basis, die du als Spalten in

T

stehen hast.

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