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Universität / Fachhochschule

Lineare Unabhängigkeit

Vektorräume

Tags: Lineare Unabhängigkeit, Vektorraum

 
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MathMP

MathMP

19:10 Uhr, 17.03.2020

Antworten
Seien v1=(1-102);v2=(2011);v3=(1k-15) Vektoren des R4.

a.)Bestimmen Sie abhängig von k eine Basis und die Dimension des Untervektorraumes?
b.)Setzen Sie k=-3 und finden Sie alle Lösungen des linearen GLS
A(x1x2x3x4)=(-239)
c)Ist M ein Untervektorraum?

a.) als Zeilenvektoren geschrieben, dannach Gaußumformung
(1-10220111k-15)

(1-102021-300-k-33k+9)
mögliche Basis:
v1=(1-102);v2=(021-3);v3=(00-k-33k+9)

Hier sieht man, wenn k=-3 dann ist v3 linear abhängig, Basis besteht dann aus v1 und v2; Dimension ist 2
wenn k3 alle Vektoren linear unabhängig; Dimension =3


b.)
Wie könnte man das lösen??

Danke für die Hilfe





Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

22:57 Uhr, 17.03.2020

Antworten
Hallo
was soll denn A sein? die Matrix mit den 3 Vektoren als Zeilen, dann musst du ja nur das GS nach Gauss lösen und dabei hast du 2 Variablen frei zu wählen-
Gruß ledum
MathMP

MathMP

09:40 Uhr, 18.03.2020

Antworten
Ja A ist die Matrix.

k muss -3 gesetzt werden.

Dann hat man also die drei Vektoren v1=(1-102);v2=(021-3);v3=(0000)

Vektor (-239) soll also "erreicht" werden.

Was mich verwirrt: Meine drei Vektoren haben 4 Zeilen und der andere Vektor nur 3 Zeilen.
Darf man die drei Spaltenvektoren "einfach" als Zeilenvektoren schreiben? Gibt es dazu eine Regel?
Normalerweise schreibt man ja ein GLS wie folgt: Sei λR

λ1v1+λ2v2+λ3v3=(-239)
und das funktioniert ja jetzt nicht...

Antwort
ledum

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12:24 Uhr, 18.03.2020

Antworten
Hallo
du kannst sicher nicht einen Vektor des 3 als Linearkombination von Vektoren des 4 schreiben. Was ist denn in der Aufgabe über A gesagt? ich hatte dich gefragt, ob A die Zeilenvektoren vi hat.
nur dann macht dein Ax Sinn.
Gruß ledum
MathMP

MathMP

12:55 Uhr, 18.03.2020

Antworten
Der Originallaut der Aufgabe:

"Setzen Sie k=-3 ein und beschreiben Sie die Menge M aller Lösungen des linearen Gleichungssystems

A(x1x2x3x4)=(-239), wobei A die Matrix ist, deren Zeilen v1,v2 und v3(-3) sind."

Meine Bedenken:
Wie könnte man das jetzt hinschreiben?
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

22:01 Uhr, 18.03.2020

Antworten
Hallo
schreib einfach die Matrix mit den 3 Zeilen aus dem ursprünglichen v1,v2,v3 mit k=-3 hin und bestimme die Lösungen, da du nur 3 Gl, mit 4 Unbekannten hast kannst du welche frei wählen, die anderen dann in Abhängigkeit davon. Das hatte ich schon vor 3 posts gesagt.
Gruß ledum

MathMP

MathMP

09:30 Uhr, 20.03.2020

Antworten
Ahh, ja klar. Danke

Bei Frage c.) Ob es ein Untervektorraum ist, wie könnte man das beantworten?
Für einen Untervektorraum muss ja die Abgeschlossenheit Adiition und Multiplikation gelten. Wie kann man das zeigen?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

09:46 Uhr, 20.03.2020

Antworten
Hallo,
liegt denn der Nullvektor in M ?
Gruß ermanus
MathMP

MathMP

18:45 Uhr, 25.03.2020

Antworten
Zu c.) Ja der NUllvektor liegt in M, also ist es ein Untervektorraum..

zu b.)
Das GLS hat dann folgende Form

A(x1x2x3x4)=(-239)

Die Matrix A besteht aus den Zeilen v1,v2 ,und v3(3)
(1-102|-2021-3|30000|9)


Das GLS hat aber keine Lösung denn 0x4=9. Stimmt das so?

Entschultige die späte Antwort.
Antwort
ermanus

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19:09 Uhr, 25.03.2020

Antworten
Hallo,
dass der Nullvektor in M liegt, ist falsch, wie man sofort sieht.
Und wenn er drin läge, dann müssten doch noch weitere
Bedingungen gelten, damit man einen Unterraum hat ...
Antwort
ermanus

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19:28 Uhr, 25.03.2020

Antworten
Übrigens habe ich den Verdacht, dass da ein Fehler in der Aufgabe zu sein scheint.
Lautet der Vektor der rechten Seite vielleicht in Wirklichkeit (-2,3,-9)
als Spalte geschrieben?
MathMP

MathMP

22:23 Uhr, 25.03.2020

Antworten
Woran sehe ich das sofort, dass der Nullvektor nicht vorhanden ist?

Ja das kann gut sein. Nehmen wir an der Vektor ist (-2,3,-9), das ändert aber doch nichts dass es dann keine Lösung gibt oder?? Wie würdest du das GLS lösen?
Danke
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

22:40 Uhr, 25.03.2020

Antworten
1. Dann müsste ja A0=(-2,3,-9) sein.
Aber die linke Seite ist doch offenbar 0.

2. Mit dem Vektor (-2,3,-9) gibt es sehr wohl eine
2-dimensionale Lösungsmenge.
Kannst ja noch mal Gauss mit diesem Vektor machen ...
MathMP

MathMP

12:03 Uhr, 26.03.2020

Antworten
Das LGS hat dann ja folgende Form:

(1-102|-2021-3|30000|-9)

Man hat drei Gleichungen und 4 gesuchte, das heißt ein x ist frei wählbar..
Aber wie kann man das nun lösen? 0=-9 in der dritten Zeile, sagt ja aus keine Lösung oder?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

12:13 Uhr, 26.03.2020

Antworten
Du musst bei den Zeilenumformungen die rechte Seite mit umformen ...
MathMP

MathMP

12:49 Uhr, 26.03.2020

Antworten
Hmm, ich versteh nicht was man da noch machen kann..

(1-102|-2021-3|30000|-9)

Jetzt wende ich noch Gauß an

(1-102|-2021-3|3063-9|0)

Aber wie geht es jetzt weiter?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

13:07 Uhr, 26.03.2020

Antworten
Wenn du von der 2-ten Ausgangszeile das 2-fache der ersten Zeile abziehst, bekommst du
als neue 2-te Zeile: 0 2 1 -3 | 7.
Wenn du die 1-te Zeile von der 3-ten abziehst, bekommst du
als neue 3-te Zeile: 0 -2 -1 3 | -7.

MathMP

MathMP

20:00 Uhr, 26.03.2020

Antworten
Ich komm einfach nicht dahinter...
Hab nach langem Umstellen deiner neuen Gleichungen -7=-7 eine wahre Aussage herausbekommen....

Könnte ich dich darum fragen, die Lösung Schritt für Schritt hier zu posten. Wäre mir eine große Hilfe. Danke
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

20:19 Uhr, 26.03.2020

Antworten
Verstehe nicht, was an dem Gauss-Verfahren so geheimnisvoll sein soll ;-)
Ich komme erst ca. 22:00 Uhr dazu, dir das "vorzurechnen".
Gruß ermanus
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

22:09 Uhr, 26.03.2020

Antworten
Ausgangssituation ist
(1-102-2201131-3-15-9)
Nun das 2-fache der 1-ten Zeile von der 2-ten abziehen:
(1-102-2021-371-3-15-9)
Die 1-te Zeile von der 3-ten abziehen:
(1-102-2021-370-2-13-7)
2-te Zeile zur 3-ten addieren, dann 0-Zeile weglassen:
(1-102-2021-37)
2-te Zeile durch 2 teilen:
(1-102-2011/2-3/27/2)
Jetzt haben wir eine Zeilenstufenform, die ich noch reduziere zu
der sogenannten Treppen-Normalform, indem ich die 2-te Zeile zur 1-ten addiere:
(101/21/23/2011/2-3/27/2)
setzen wir nun die freien Variablen x3=s,x4=t, dann bekommen wir:
x1=3/2-1/2s-1/2t
x2=7/2-1/2s+3/2t
x3=s
x4=t.
Damit ergeben sich die Lösungsvektoren in der Form
(x1x2x3x4)=(3/27/200)+s(-1/2-1/210)+t(-1/23/201),s,t.

Gruß ermanus



Frage beantwortet
MathMP

MathMP

17:21 Uhr, 27.03.2020

Antworten
Danke!!!