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Lineare Unabhängigkeit

Vektorräume

Tags: Lineare Unabhängigkeit, Vektorraum

MathMP

19:10 Uhr, 17.03.2020

Seien

\vec{v 1} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}); \vec{v 2} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}); \vec{v 3} = (\begin{matrix} 1 \\ k \\ - 1 \\ 5 \end{matrix})

Vektoren des

R^{4}

a

.)Bestimmen Sie abhängig von

k

eine Basis und die Dimension des Untervektorraumes?

b

.)Setzen Sie

k = - 3

und finden Sie alle Lösungen des linearen GLS

A \cdot (\begin{matrix} x 1 \\ x 2 \\ x 3 \\ x 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 9 \end{matrix})

c)Ist

M

ein Untervektorraum?

a .)

als Zeilenvektoren geschrieben, dannach Gaußumformung

(\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & k & - 1 & 5 \end{matrix})

(\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & - 3 \\ 0 & 0 & - k - 3 & 3 k + 9 \end{matrix})

mögliche Basis:

\vec{v 1} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}); \vec{v 2} = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\ - 3 \end{matrix}); \vec{v 3} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - k - 3 \\ 3 k + 9 \end{matrix})

Hier sieht man, wenn

k = - 3

dann ist

\vec{v 3}

linear abhängig, Basis besteht dann aus

\vec{v 1}

und

\vec{v 2};

Dimension ist 2
wenn

k \neq 3

alle Vektoren linear unabhängig; Dimension

= 3

b .)

Wie könnte man das lösen??

Danke für die Hilfe

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

ledum aktiv_icon

22:57 Uhr, 17.03.2020

Hallo
was soll denn A sein? die Matrix mit den 3 Vektoren als Zeilen, dann musst du ja nur das GS nach Gauss lösen und dabei hast du 2 Variablen frei zu wählen-
Gruß ledum

MathMP

09:40 Uhr, 18.03.2020

Ja A ist die Matrix.

k

muss

- 3

gesetzt werden.

Dann hat man also die drei Vektoren

\vec{v 1} = (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}); \vec{v 2} = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\ - 3 \end{matrix}); \vec{v 3} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Vektor

(\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 9 \end{matrix})

soll also "erreicht" werden.

Was mich verwirrt: Meine drei Vektoren haben 4 Zeilen und der andere Vektor nur 3 Zeilen.
Darf man die drei Spaltenvektoren "einfach" als Zeilenvektoren schreiben? Gibt es dazu eine Regel?
Normalerweise schreibt man ja ein GLS wie folgt: Sei

λ \in R

λ 1 \cdot \vec{v 1} + λ 2 \cdot \vec{v 2} + λ 3 \cdot \vec{v 3} = (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 9 \end{matrix})

und das funktioniert ja jetzt nicht...

ledum aktiv_icon

12:24 Uhr, 18.03.2020

Hallo
du kannst sicher nicht einen Vektor des

ℝ^{3}

als Linearkombination von Vektoren des

ℝ^{4}

schreiben. Was ist denn in der Aufgabe über A gesagt? ich hatte dich gefragt, ob A die Zeilenvektoren

v_{i}

hat.
nur dann macht dein

A \cdot x

Sinn.
Gruß ledum

MathMP

12:55 Uhr, 18.03.2020

Der Originallaut der Aufgabe:

"Setzen Sie

k = - 3

ein und beschreiben Sie die Menge

M

aller Lösungen des linearen Gleichungssystems

A \cdot (\begin{matrix} x 1 \\ x 2 \\ x 3 \\ x 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 9 \end{matrix}),

wobei A die Matrix ist, deren Zeilen

v 1, v 2

und

v 3 (- 3)

sind."

Meine Bedenken:
Wie könnte man das jetzt hinschreiben?

ledum aktiv_icon

22:01 Uhr, 18.03.2020

Hallo
schreib einfach die Matrix mit den 3 Zeilen aus dem ursprünglichen

v 1, v 2, v 3

mit

k = - 3

hin und bestimme die Lösungen, da du nur 3 Gl, mit 4 Unbekannten hast kannst du welche frei wählen, die anderen dann in Abhängigkeit davon. Das hatte ich schon vor 3 posts gesagt.
Gruß ledum

MathMP

09:30 Uhr, 20.03.2020

Ahh, ja klar. Danke

Bei Frage

c .)

Ob es ein Untervektorraum ist, wie könnte man das beantworten?
Für einen Untervektorraum muss ja die Abgeschlossenheit Adiition und Multiplikation gelten. Wie kann man das zeigen?

ermanus aktiv_icon

09:46 Uhr, 20.03.2020

Hallo,
liegt denn der Nullvektor in

M

?
Gruß ermanus

MathMP

18:45 Uhr, 25.03.2020

c .)

Ja der NUllvektor liegt in

M,

also ist es ein Untervektorraum..

zu

b .)

Das GLS hat dann folgende Form

A \cdot (\begin{matrix} x 1 \\ x 2 \\ x 3 \\ x 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ 3 \\ 9 \end{matrix})

Die Matrix A besteht aus den Zeilen

\vec{v 1}, \vec{v 2}

,und

\vec{v 3 (3)}

(\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 & 2 | - 2 \\ 0 & 2 & 1 & - 3 | 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 | 9 \end{matrix})

Das GLS hat aber keine Lösung denn

0 \cdot x 4 = 9

. Stimmt das so?

Entschultige die späte Antwort.

ermanus aktiv_icon

19:09 Uhr, 25.03.2020

Hallo,
dass der Nullvektor in

M

liegt, ist falsch, wie man sofort sieht.
Und wenn er drin läge, dann müssten doch noch weitere
Bedingungen gelten, damit man einen Unterraum hat ...

ermanus aktiv_icon

19:28 Uhr, 25.03.2020

Übrigens habe ich den Verdacht, dass da ein Fehler in der Aufgabe zu sein scheint.
Lautet der Vektor der rechten Seite vielleicht in Wirklichkeit

(- 2, 3, - 9)

als Spalte geschrieben?

MathMP

22:23 Uhr, 25.03.2020

Woran sehe ich das sofort, dass der Nullvektor nicht vorhanden ist?

Ja das kann gut sein. Nehmen wir an der Vektor ist

(- 2,3, - 9),

das ändert aber doch nichts dass es dann keine Lösung gibt oder?? Wie würdest du das GLS lösen?
Danke

ermanus aktiv_icon

22:40 Uhr, 25.03.2020

1. Dann müsste ja

A \cdot 0 = (- 2, 3, - 9)

sein.
Aber die linke Seite ist doch offenbar 0.

2. Mit dem Vektor

(- 2, 3, - 9)

gibt es sehr wohl eine
2-dimensionale Lösungsmenge.
Kannst ja noch mal Gauss mit diesem Vektor machen ...

MathMP

12:03 Uhr, 26.03.2020

Das LGS hat dann ja folgende Form:

(\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 & 2 | - 2 \\ 0 & 2 & 1 & - 3 | 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 | - 9 \end{matrix})

Man hat drei Gleichungen und 4 gesuchte, das heißt ein

x

ist frei wählbar..
Aber wie kann man das nun lösen?

0 = - 9

in der dritten Zeile, sagt ja aus keine Lösung oder?

ermanus aktiv_icon

12:13 Uhr, 26.03.2020

Du musst bei den Zeilenumformungen die rechte Seite mit umformen ...

MathMP

12:49 Uhr, 26.03.2020

Hmm, ich versteh nicht was man da noch machen kann..

(\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 & 2 | - 2 \\ 0 & 2 & 1 & - 3 | 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 | - 9 \end{matrix})

Jetzt wende ich noch Gauß an

(\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 & 2 | - 2 \\ 0 & 2 & 1 & - 3 | 3 \\ 0 & 6 & 3 & - 9 | 0 \end{matrix})

Aber wie geht es jetzt weiter?

ermanus aktiv_icon

13:07 Uhr, 26.03.2020

Wenn du von der 2-ten Ausgangszeile das 2-fache der ersten Zeile abziehst, bekommst du
als neue 2-te Zeile: 0 2 1 -3 | 7.
Wenn du die 1-te Zeile von der 3-ten abziehst, bekommst du
als neue 3-te Zeile: 0 -2 -1 3 | -7.

MathMP

20:00 Uhr, 26.03.2020

Ich komm einfach nicht dahinter...
Hab nach langem Umstellen deiner neuen Gleichungen

- 7 = - 7

eine wahre Aussage herausbekommen....

Könnte ich dich darum fragen, die Lösung Schritt für Schritt hier zu posten. Wäre mir eine große Hilfe. Danke

ermanus aktiv_icon

20:19 Uhr, 26.03.2020

Verstehe nicht, was an dem Gauss-Verfahren so geheimnisvoll sein soll ;-)
Ich komme erst ca. 22:00 Uhr dazu, dir das "vorzurechnen".
Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

22:09 Uhr, 26.03.2020

Ausgangssituation ist

(\begin{array}{rrrrrr} 1 & - 1 & 0 & 2 & ∣ & - 2 \\ 2 & 0 & 1 & 1 & ∣ & 3 \\ 1 & - 3 & - 1 & 5 & ∣ & - 9 \end{array})

Nun das 2-fache der 1-ten Zeile von der 2-ten abziehen:

(\begin{array}{rrrrrr} 1 & - 1 & 0 & 2 & ∣ & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & - 3 & ∣ & 7 \\ 1 & - 3 & - 1 & 5 & ∣ & - 9 \end{array})

Die 1-te Zeile von der 3-ten abziehen:

(\begin{array}{rrrrrr} 1 & - 1 & 0 & 2 & ∣ & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & - 3 & ∣ & 7 \\ 0 & - 2 & - 1 & 3 & ∣ & - 7 \end{array})

2-te Zeile zur 3-ten addieren, dann 0-Zeile weglassen:

(\begin{array}{rrrrrr} 1 & - 1 & 0 & 2 & ∣ & - 2 \\ 0 & 2 & 1 & - 3 & ∣ & 7 \end{array})

2-te Zeile durch 2 teilen:

(\begin{array}{rrrrrr} 1 & - 1 & 0 & 2 & ∣ & - 2 \\ 0 & 1 & 1 / 2 & - 3 / 2 & ∣ & 7 / 2 \end{array})

Jetzt haben wir eine Zeilenstufenform, die ich noch reduziere zu
der sogenannten Treppen-Normalform, indem ich die 2-te Zeile zur 1-ten addiere:

(\begin{array}{rrrrrr} 1 & 0 & 1 / 2 & 1 / 2 & ∣ & 3 / 2 \\ 0 & 1 & 1 / 2 & - 3 / 2 & ∣ & 7 / 2 \end{array})

setzen wir nun die freien Variablen

x_{3} = s, x_{4} = t

, dann bekommen wir:

x_{1} = 3 / 2 - 1 / 2 \cdot s - 1 / 2 \cdot t

x_{2} = 7 / 2 - 1 / 2 \cdot s + 3 / 2 \cdot t

x_{3} = s

x_{4} = t

.
Damit ergeben sich die Lösungsvektoren in der Form

(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{array}) = (\begin{array}{c} 3 / 2 \\ 7 / 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}) + s \cdot (\begin{array}{c} - 1 / 2 \\ - 1 / 2 \\ 1 \\ 0 \end{array}) + t \cdot (\begin{array}{c} - 1 / 2 \\ 3 / 2 \\ 0 \\ 1 \end{array}), s, t \in ℝ

.

Gruß ermanus

MathMP

17:21 Uhr, 27.03.2020

Danke!!!

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