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Basispolynome

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: Basispolynom, polynom

Tari Friend aktiv_icon

14:36 Uhr, 16.01.2019

(a)

Gibt es eine Basis von

P 3 := {p

∈

K [x] |

deg(p) ≤

3},

sodass keines der Basispolynome den Grad 2 hat?

(b)

Es sei

v 1, v 2, v 3, v 4

eine Basis des K-Vektorraums

V

. Zeigen Sie, dass dann

v 1 + v 2, v 2 + v 3, v 3 + v 4, v 4

ebenfalls eine Basis von

V

ist.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

korbinian aktiv_icon

15:50 Uhr, 16.01.2019

Hallo,
zu a) ja gibt es.
Was weißt du denn schon von Basen? Kennst du den Begriff Dimension eines (Unter)vektorraums?
gruß
korbinian

Tari Friend aktiv_icon

10:38 Uhr, 18.01.2019

Bitte die Antwort gänzlich erläutern, wenn möglich!

ledum aktiv_icon

00:50 Uhr, 19.01.2019

Hallo
zu

a)

einer der Basen muss

x^{3}

und

x^{2},

eine

x^{3}

und nicht

x^{2}

enthalten, vielleicht hilft dir ja auch Aufgabe

b)

dabei
bei

b

schreib die Def, von

v 1

bis

v 4

Lin unabhängig hin und zeige damit, dass falls die neue Basis Lin Abhängigkeit wäre, es auch die alte ist.
Gruß ledum

godzilla12 aktiv_icon

14:06 Uhr, 19.01.2019

a);

schau in Wiki, wie der Begriff " Basis " defniert ist. Vier äquivalente Aussagen:

1)

Eindeutig Erzeugendes

2)

Minimales Erzeugendes

3)

Linear unabhängiges Erzeugendes

4)

Maximal linear unabhängiges

= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

Hausaufgabe; auswändig lernen. Ausführliche Erläuterungen dieser Begriffe und alle Beweise findest du bei Wiki.

Folgende Basispolynome

p_{3} := x

+ x

(1 a)

p_{2} := x

- x

(1 b)

p_{1} := x (1 c)

p_{0} := 1 (1 d)

Wie du siehst, lauten die Grade der Polynome

3, 3, 1, 0

. Ich entscheide mich für Unterpunkt

2);

minimales Erzeugendes. Zunächst Erzeugendes. Ich muss jedes beliebige Polynom als Linearkombination ( LK ) angeben; ob ich dabei die Koeffizienten vom lieben Gott habe, ist erst mal egal.

p := a_{3} x

+ a_{2} x

+ a_{1} x + a_{0} = (2 a)

= \frac{1}{2} (a_{3} + a_{2}) p 3 + \frac{1}{2} (a_{3} - a_{2}) p 2 + a_{1} p_{1} + a_{0} p_{0} (2 b)

Najaa; Minimal ist nicht gleich Minimal. Angenommen im

ℝ

³ erzeugen die Vektoren

e_{1}, . .

, e_{4710}

die xy-Ebene; und

e_{4711}

entspricht der z-Achse.
Dann kannst du Bedenken los

e_{471}

weg lassen, aber

e_{4711}

nicht.
Unser System war aber auch nicht minimal.
Du musst also nacheinander zeigen:

p_{3}

ist nicht darstellbar als LK von

p_{0; 1; 2}

p_{2}

ist nicht darstellbar als LK von

p_{0; 1; 3}

Und analog für

p_{1}

und

p_{0}

.
Ich stelle mir das jedoch eher trivial vor; das einzige, was doch effektiv zu zeigen bleibt:

p_{2}

kann kein Vielfaches von

p_{3}

sein.

Für Teilaufgabe

b)

bedienen wir uns Kriterium

4);

maximal linear unabhängig. Warum? Weil die Dimension haben wir ja schon; 4 . Sind die

v_{i}

linear unabhängig, so sind sie bereits maximal linear unabhängig.

λ_{1} (v_{1} + v_{2}) + λ_{2} (v_{2} + v_{3}) + λ_{3} (v_{3} + v_{4}) + λ_{4} v_{4} = 0 (3 a)

λ_{1} v_{1} + (λ_{1} + λ_{2}) v_{2} + (λ_{2} + λ_{3}) v_{3} + (λ_{3} + λ_{4}) v_{4} = 0 (3 b)

Da ja die

v_{i}

als linear unabhängig voraus gesetzt waren, ist Koeffizientenvergleich zulässig; das führt uns auf das triviale LGS in unterem Gaußschem Dreiecksformat

λ_{1} = 0 (4 a)

λ_{1} + λ_{2} = 0 (4 b)

λ_{2} + λ_{3} = 0 (4 c)

λ_{3} + λ_{4} = 0 (4 d)

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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