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Basiswechsel

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Matrizenrechnung

Tags: Endomorphismus, Matrizenrechnung

anonymous

19:41 Uhr, 09.02.2010

Hallo, kann mir jemand vielleicht bitte sagen, wie man die folgende Aufgabe lösen kann? Ich weiss leider irgendwie allgemein nicht, was ich hier machen soll.

Gegeben ist Matrix A eines Endomorphismus

f : ℝ^{3} \to ℝ^{3}

bzgl. der Basis

e_{1}, e_{2}, e_{3}

. Berechne die Matrix von

f

bzgl. der Basis

e_{1}^{'}, e_{2}^{'}, e_{3}^{'},

deren Vektoren durch ihre Koordinaten in der Basis

e_{1}, e_{2}, e_{3}

gegeben sind:

A = (\begin{matrix} 0 & 1 & 2 \\ 5 & 4 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{matrix}); e_{1}^{'} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), e_{2}^{'} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), e_{3}^{'} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

Vielen Dank voraus.

Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

23:19 Uhr, 09.02.2010

Ich gehe wohl davon aus, dass ich hier die Abbildungsmatrix ermitteln muss, nur ist das Problem, dass ich dafür keinen Ansatz habe deshalb hoffe ich, dass mir jemand dabei helfen kann.

Ist es vielleicht so korrekt, dass man hier zuerst die Bilder der Standardbasiseinheitsvektoren

e_{1}, e_{2}, e_{3}

berechnen muss?

michaL aktiv_icon

00:09 Uhr, 10.02.2010

Hallo,

in einem anderen thread habe ich dir dazu schon versucht, Hilfe zu geben www.onlinemathe.de/forum/Basiswechsel-3).

Ok, meines Erachtens wird vieles einfacher, wenn man eine geeignete Notation verwendet, etwa

E

für die Standardbasis,

B

für die andere Basis.

A

ist dann eine Darstellungsmatrix von

f

bzgl. der Basis

E

(d.h. Urbilder und Bilder werden als Koordinatenvektoren bzgl.

E

aufgefasst):

A = M a t_{E}^{E} (f)

. Du suchst nun die

M a t_{B}^{B} (f)

.

Stellt

W

die Basiswechselmatrix von

E

nach

B

dar (d.h.

W = M a t_{E}^{B} (id)

), so gilt zunächst einmal

W^{- 1} = M a t_{B}^{E} (id)

und vor allem:

M a t_{B}^{B} (f) = W A W^{- 1}

bzw.

M a t_{B}^{B} (f) = M a t_{E}^{B} (id) \cdot M a t_{E}^{E} (f) \cdot M a t_{B}^{E} (id)

Eigentlich musst du nur eine der beiden Wechselmatrizen aufstellen und invertieren. Zu guter Letzt musst du alle drei Matrizen multiplizieren.

Am einfachsten ist (aus meiner Sicht) eine Wechselmatrix von beliebiger Basis in Standardbasis zu machen. Da bestehen die Spalten(!) genau aus den Basisvektoren der Basis (in unserem Fall der Basis

B

).

D.h.

W^{- 1} = M a t_{B}^{E} (id)

hat die Gestalt:
1 1 1
0 1 1
0 0 1

Mfg Michael

anonymous

00:30 Uhr, 10.02.2010

Danke erstmal für deine Antwort michal.
Heisst das, dass meine gesuchte Wechselmatrix die Vektoren der Basis

e_{1}^{'}, e_{2}^{'}, e_{3}^{'}

sind?

Die Standardbasis mit

e_{1}, e_{2}, e_{3}

ist doch die Einheitsmatrix oder?

michaL aktiv_icon

00:44 Uhr, 10.02.2010

Hallo,

die Frage ist nicht wirklich eindeutig.

Bei der Vorgehensweise, die ich skizziert habe, wird ja 2x die Basis gewechselt: einmal hin, dann wieder zurück.
Und eine der beiden Matrizen hat als Spalten die Vektoren

e_{1} ʹ

e_{2} ʹ

und

e_{3} ʹ

. Aber es nicht die, die Koordinatenvektoren bzgl.

E

in Koordinatenvektoren bzgl.

B

wandelt, sondern genau umgekehrt.

Die Matrix, die von Basis

E

nach

E

wechselt (ob man hier von Wechsel sprechen sollte?), ist tatsächlich die Einheitsmatrix, aber es passiert ja auch nix.

Mfg Michael

anonymous

01:04 Uhr, 10.02.2010

Ok, verstehe ich dachte es wird von der Basis

e_{1}^{'}, e_{2}^{'}, e_{3}^{'}

zur Basis

e_{1}, e_{2}, e_{3}

abgebildet.
Wäre dann die Aufstellung bzgl. der gesuchten Darstellungsmatrix so richtig?:

M_{B}^{B} (f) = W A W^{- 1} = (\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 & 1 & 2 \\ 5 & 4 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix})

W

habe ich durch Inversion aus

W^{- 1}

ermittelt gehabt.

michaL aktiv_icon

01:10 Uhr, 10.02.2010

Hallo,

wieder: neee.

Siehe mein erstes posting, dort habe ich

W^{- 1}

angegeben als:

1 1 1
0 1 1
0 0 1

Das, was du als

W^{- 1}

angegeben hast, kann ich nicht mit den Vektoren

e_{1} ʹ

und

e_{2}

in Verbindung bringen.

Mfg Michael

anonymous

01:15 Uhr, 10.02.2010

Mist mein Fehler, habe

W^{- 1}

verkehrt rum geschrieben.

Ich meinte natürlich so:

M_{B}^{B} (f) = W A W^{- 1} = (\begin{matrix} 1 & - 1 & 0 \\ 0 & 1 & - 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 & 1 & 2 \\ 5 & 4 & 0 \\ 3 & 2 & 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

michaL aktiv_icon

01:16 Uhr, 10.02.2010

Hallo,

ok.

Mfg Michael

anonymous

01:19 Uhr, 10.02.2010

Vielen Dank, dass du dir die Zeit dafür genommen hast.

Viele Grüße transzendent

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