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Basiswechsel

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Tags: basiswechsel, Endomorphismus

 
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Anes1710

Anes1710 aktiv_icon

23:20 Uhr, 17.07.2018

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Hallo,
ich habe eine Frage zu folgender Aussage:
Warum folgt , dass die Matrix eines Endomorphismus eines unitären Vektorraumes
bzgl. jeder ONB normal ist, wenn dies bzgl. irgendeiner ONB gilt?

Es gilt dabei folgendes: A normal genau dann wenn BT¯AB normal.
Die Basiswechselmatrix eines unitären Endo zwischen 2 ONB ist unitär.
Wie folgt dann diese Aussage?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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ermanus

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09:46 Uhr, 18.07.2018

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Hallo,

du setzt voraus, dass
1. A normal B*AB normal (ich schreibe B* für BT).
2. Die Basiswechselmatrix B für den Übergang von einer ONB zu einer anderen ONB
ist unitär (B*=B-1).

Daraus ergibt sich:
A normal B-1AB=B*AB wegen 2. und letzteres ist normal wegen 1.

Gruß ermanus
Anes1710

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14:18 Uhr, 18.07.2018

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Aber wenn ich die Basis wechsel mit unitären Matrizen, also BAB. Aber warum sollte dieser Ausdruck normal sein?
Antwort
ermanus

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14:21 Uhr, 18.07.2018

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Du hast doch selbst geschrieben:
"Es gilt dabei folgendes: A normal genau dann wenn B*AB normal".
Anes1710

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14:23 Uhr, 18.07.2018

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Ja ich habe diese Aussage:

Dann wechsel ich die Basis von A mit den Matrizen BAB und dann?
Antwort
ermanus

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14:25 Uhr, 18.07.2018

Antworten
Ja, dann bleibt aber doch die Normalität erhalten, wenn ich zu einer anderen
ONB übergehe.
Anes1710

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14:26 Uhr, 18.07.2018

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Aber warum denn?
Anes1710

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14:27 Uhr, 18.07.2018

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Wie komme ich von BABAA=AA
Antwort
ermanus

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14:30 Uhr, 18.07.2018

Antworten
Du fragst also etwas ganz anderes :(
Du möchtest wissen, warum
"Es gilt dabei folgendes: A normal genau dann wenn B*AB normal"
der Fall ist? Das konnte man deinem Text nicht entnehmen ...
Anes1710

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14:34 Uhr, 18.07.2018

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Ne ich wollte schon wissen, was ich formuliert habe.
Anscheind verstehe ich es falsch.
Du hast als 1. geschrieben A normal BAB normal.
Wie folgt das denn. Warum ist A normal wenn ich mit B und B multipliziere?
Antwort
ermanus

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14:38 Uhr, 18.07.2018

Antworten
OK! Genau das sagte ich eben ...
Du möchtest folgendes begründet haben:

AA*=A*A(B*AB)(B*AB)*=(B*AB)*(B*AB).

Sind wir uns da einig?
Anes1710

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14:42 Uhr, 18.07.2018

Antworten
Ok das hane ich jetzt nachgerechnet.
Jetzt verstehe ich es.
A ist normal und es gilt diese Aussage, dann ist auch A bzgl jeder ONB normal, da Basiswechselmatrizen unitär sind.
Sorry ich habe mich dumm angestellt.

Noch ganz kurz unitäre Matrizen haben die Eigenschaft BB=E, wobei B und B hermitesch oder?
Antwort
ermanus

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14:43 Uhr, 18.07.2018

Antworten
EDIT:
Die müssen keineswegs hermitesch sein, und sind es eher gerade NICHT!
Anes1710

Anes1710 aktiv_icon

14:50 Uhr, 18.07.2018

Antworten
Gut:-)
Ich habe noch eine Frage zur Quadrik:
Zu einer Bilinearform V×VK mit (v,w)s(v,w)
gibt es eine Abbildung. Q:VK,vs(v,v)

Was heißt es dann z.b die euklidische Normalform dieser Quadrik dann auszurechen. Beschreibe ich den Eno. oder was mache ich?
Antwort
ermanus

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14:55 Uhr, 18.07.2018

Antworten
Ich kenne den Begriff der "euklidischen Normalform" einer
quadratischen Form nicht. Ist damit eine Diagonalform gemeint?
Anes1710

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15:00 Uhr, 18.07.2018

Antworten
Es geht um Hauptachsentransformation.
Man versucht eine Matrix zu diagonaliseren mithilfe des Spektralsatzes und führt Translationen druch, damit man am Ende z.b sowas wie ax2-by2-1 bekommt, was eine Hyperbel ist.
Wsl ist es das, was du meinst.
Gibt es einen Unterschied zwischen quadratischer Form und Quadrik?
Ist die Quadrik die Nullstellenmenge der quadratischen Form?



Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

15:11 Uhr, 18.07.2018

Antworten
OK.
Wie würde ich das machen?
1. Durch Translation den linearen Teil "beseitigen", so dass
die Quadrik als Lösungsmenge von {xxTAx=c} betrachtet werden kann
mit einer symmetrischen Matrix A.
2. Die Eigenwerte von A bestimmen und dazu eine Orthonormalbasis aus
Eigenvektoren berechnen. Basiswechsel zu diesr Basis durchführen:
STAS=S-1AS.

P.S.: die Quadrik ist in der Tat die Nullstellenmenge der quadratischen Form.


Anes1710

Anes1710 aktiv_icon

15:14 Uhr, 18.07.2018

Antworten
Aso:-)
D.h der Spektralsatz ist ja dann das Werkzeug für die Diagonaliserung. Am Ende habe ich dann die Qudarik bzgl der Basis aus EV dargestellt.
Aber was kann ich dadurch über meinen Abbildung aussagen?
Ist Quadrik und quadratische Form das gleiche?

Kann ich dann einfach Aussagen, welche Form meine Nullstellenmenge hat?
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

15:21 Uhr, 18.07.2018

Antworten
Manchmal nennt man auch die quadratische Form Q eine Quadrik.
Das ist aber eher schnodderig. Eine Quadrik ist eine Hyperfläche
im Kn, die als Nullstellenmenge einer quadratischen Form Q
entsteht.

Wenn du ein bisschen Zeit hast, gebe ich dir später noch ein paar Beispiele
zu diesem Thema.
Anes1710

Anes1710 aktiv_icon

15:26 Uhr, 18.07.2018

Antworten
Lass dir Zeit. Ich warte bis du Zeit hast. Kein Problem:-)
Wie leitet sich die Quadrik dann egtl allgemein ab.

Wenn ich q(v)=xTAx betrachte, x ist dann der Koordiantenspaltenvektor von v.
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

18:59 Uhr, 18.07.2018

Antworten
So,
nun mache ich mal ein Beispiel (erst mal nur eins, morgen vielleicht noch ein zweites?)
Wir wollen die Menge M={(x,y)23x2+2xy+3y2=4} betrachten.
Die linke Seite der vorgegebenen Gleichung ist ein homogenes Polynom 2-ten Grades,
also eine quadratische Form.
Wir können daher die Sache auch so ausdrücken
M={(x,y)(x,y)(3113)(x,y)T=4}.
Das charakteristische Polynom der hier auftretenden Matrix A ist
χA(T)=T2-6T+8=(T-2)(T-4), so dass wir die Eigenwerte λ1=2,λ2=4
bekommen.
Zu λ1=2 findet man als Eigenvektor v~1=(1,-1)T,
zu λ2=4 den Eigenvektor v~2=(1,1)T.
Diese sind orthogonal zueinander, so dass man nach ihrer Normierung
(auf die Länge 1) in v1=12(1,-1)T,v2=12(1,1)T
eine Orthonormalbasis vor sich hat.
Sei nun S die Matrix, deren Spalten diese Vektoren sind,
dann führt die Transformtion in diese Basis zu
S-1AS=STAS=12(1-111)(3113)12(11-11)=12(4008)=(2004).
Nennt man also die Komponenten der transformierten Vektoren x~ und y~, so bekommt man als quadratische Form in diesen Koordinaten:

Q(x~,y~)=2x~2+4y~2=4. Teilt man durch 4, so kommt:

x~2(2)2+y~2=1. Das ist die Gleichung einer Ellipse
mit den Halbachsen a=2 und b=1. Die Transformtion S ist eine Drehung um 45o,
d.h. die "Originalellipse" liegt "diagonal" in der Ebene.

Gruß ermanus



Anes1710

Anes1710 aktiv_icon

19:08 Uhr, 18.07.2018

Antworten
Tausend Dank:-)
Der Algorithmus ist mir jetzt 100% klar. Also du brauchst kein 2. Beispiel mehr machen.

Warum schaut man sich so eine quadratische Form an?
Du hast =4 betrachtet. Was hast du dann damit beschrieben?
Dass die Lösung dieser Gleichung ein bestimmtes Gebilde ist?
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

19:24 Uhr, 18.07.2018

Antworten
Hallo
die 4 war eben eine Wahl, wenn du stattdessen ne andere Positive Zahl einsetzt ist es eben eine andere Ellipse. also ja es wird damit eine "Gebilde" beschrieben
alle quadratischen Form= Zahl ist immer eine Kegelschnitt, also Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel. Geradenpaar. wenn die Achsen in richtung x und y Achse gehen, erkennt man sofort, welches davon es ist, allgemein aber nicht, deshalb bringt man sie eben in Normalform, durch Drehung.
Gruß ledum
Anes1710

Anes1710 aktiv_icon

19:52 Uhr, 18.07.2018

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D.h ich kann mit dieser Transformation die Lösungsmenge von quadratischen Gleichungen bestimmen.
Warum nimmt man da eine Quadrik und nicht die zugeordnete Bilinearform?
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

12:28 Uhr, 19.07.2018

Antworten
Hallo
ich versteh deine Formuliereung nicht wirklich. Es geht um Kegelschnitte, man will schnell erkennen, um welchen es sich handelt.
wenn du mit der Lösungsmenge die Kurve, die beschrieben wird meinst, ja
Wenn du einen Kegel mit einer Ebene schneidest ergibt ich eine Quadrik, was meinst du mit der zugeordneten Bilinearform?
Gruß ledum

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