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Basiswechsel im Polynomraum

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Tags: Angewandte Lineare Algebra, Linear Abbildung, Matrizenrechnung, Vektorraum

DTH92 aktiv_icon

12:25 Uhr, 02.06.2016

Hi,

ich habe hier zwei Basen im

π_{2} (ℝ)

gegeben und möchte nun die Basiswechselmatrix von

V := {1, t, t^{2}}

nach

W := {2 t^{2} - t - 1, - 2 t^{2} + 3 t + 2, - t^{2} + t + 1}

aufstellen.
Ich habe bei Wikipedia gelesen, dass ich hier die Vektoren von

V

als Linearkombination der Vektoren von

W

darstellen muss, aber hier scheitere ich leider.

Anfangen würde ich ja

z . B

. mit

1 = λ_{1} (2 t^{2} - t - 1) + λ_{2} (- 2 t^{2} + 3 t + 2) + λ_{3} (- t^{2} + t + 1)

und dann vielleicht

t

potenzen ausklammern:

(2 λ_{1} - 2 λ_{2} - λ_{3}) t^{2} + (- λ_{1} + 3 λ_{2} + λ_{3}) t + (- λ_{1} + 2 λ_{2} + λ_{3}) = 1

. Doch ich sehe immernoch nicht wie ich von hier auf ein LGS kommen soll? Kann mir jemand helfen?

EDIT: Oder darf man ein Polynom

p (x) \in π_{2} (ℝ)

auch darstellen, indem man es über seine Koeffizienten definiert: also

p (x) = 3 x^{2} + 3 x + 3 \in π_{2} (ℝ) := (\begin{matrix} 3 \\ 3 \\ 3 \end{matrix}) \in ℝ^{3}

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

13:12 Uhr, 02.06.2016

Hallo,

Du bist mit dem Abschnitt "Anfangen ..." auf dem richtigen Weg. Du musst jetzt nach dem Sortiere nach den Potenzen von

t

Koeffizientenvergleich durchführen, das bringt die ein lineares Gleichungssysem für die

λ_{i}

.

Bevor du das löst, solltest Du Dir überlegen, dass für die beiden anderen Basiselemente

t^{1}

und

t^{2}

ebenfalls ein Gleichungssystem zu lösen ist, aber mit derselben Koeffizientenmatrix.

Gruß pwm

DTH92 aktiv_icon

13:24 Uhr, 02.06.2016

Ich weiß leider nicht, wie genau ich den Vergleich durchführen soll.Soll ich die "Koeffizientengleichungen" vor den

t

potenzen in ein LGS überführen? Darf ich denn das Polynom 1 als Vektor

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

darstellen? Ansonsten sehe ich nicht, wie ich das gehen soll

: (

pwmeyer aktiv_icon

13:27 Uhr, 02.06.2016

Hallo,

"Koeffizientenvergleich" heißt einfach:

a_{0} + a_{1} \cdot t + a_{2} \cdot t^{2} = b_{0} + b_{1} \cdot t + b_{2} \cdot t^{2}

für all

t

genau dann , wenn

a_{0} = b_{0}

und

a_{1} = b_{1}

und

a_{2} = b_{2}

Gruß pwm

DTH92 aktiv_icon

13:34 Uhr, 02.06.2016

Hi,

also sage ich: (2λ1-2λ2-λ3)t2+(-λ1+3λ2+λ3)t+(-λ1+2λ2+λ3)=1 gdw.

(2λ1-2λ2-λ3)=0
(-λ1+3λ2+λ3)=0
(-λ1+2λ2+λ3)=1

?

Und gleiches für die anderen Polynome?
Das macht Sinn und würde ja dann genau auf den Ansatz hinauslaufen, die Polynome mit ihrem Koeffiziententupel zu identifizieren.
Danke sehr !

pwmeyer aktiv_icon

13:39 Uhr, 02.06.2016

Ja, so gehts.

Gruß pwm

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