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Basiswechsel im Vektorraum der Polynome

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: basiswechsel, basiswechselmatirx, polynom

Gast17 aktiv_icon

15:31 Uhr, 20.11.2016

Tag zusammen,

ich habe eine relativ lange Aufgabe in der Lin. Alg. erhalten, bei der ich nicht wirklich weiter komme, bzw. nicht mal den Anfang richtig hinbekomme..

Folgende Aufgabe:

Im Folgenden betrachten wir den Vektorraum der Polynome

P (ℝ)

sowie die Unterräume

P_{d} (ℝ)

der Polynome von Grad höchstens

d

. Setzen Sie für die ganze Aufgabe voraus, dass die Monome

{x^{n} ∣ n > 0}

linear unabhängig sind. Im Folgenden seien

p_{k} (x) := x^{k}

und

q_{k} (x) := (x + 1)^{k}

mit

(k \in ℕ_{0})

a) Sei

ℬ_{d} = (p_{0}, . . ., p_{d})

. Zeigen Sie, dass

ℬ_{d}

eine Basis von

P_{d} (ℝ)

ist.

Was soll ich denn hier genau zeigen? Ich weiss, dass

P_{d} (ℝ)

höchstens Dimension

d

hat und ich weiss,

ℬ_{d}

hat

d

linearun abhängige Elemente mit dessen Lin.Komb. ich alle Elemente aus

P_{d} (ℝ)

darstellen kann... Damit ist es doch per Definition eine Basis..

b) Sei

ℱ_{d} = (q_{0}, . . ., q_{d})

. Zeigen Sie, dass

ℱ_{d}

eine Basis von

P_{d} (ℝ)

ist.

Genau wie oben bildet sich aus dieser Menge

ℱ_{d}

schlussendlich Terme die Monome enthalten, die wieder lin. unabh. sind und dessen Grad genau dem Grad der Dimension entspricht.. Auch hier verstehe ich nicht ganz was ich zeigen soll...

c) Berechnen Sie die Basiswechselmatrizen

[I_{P_{d} (ℝ)}]_{ℬ_{d}}^{ℱ_{d}}

und

[I_{P_{d} (ℝ)}]_{ℱ_{d}}^{ℬ_{d}}

für

d = 2, 3

.
Ich hoffe die Notation ist klar, wenn nicht einfach nachfragen... Ich weiss zwar war Basiswechselmatrizen sind, leider nicht wirklich wie man sie berechnet... Vor allem, weil ich ja nicht mal genau weiss was für eine Abb. ich habe..

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

Apilex aktiv_icon

15:53 Uhr, 21.11.2016

a)

"Was soll ich denn hier genau zeigen? Ich weiss, dass Pd(ℝ) höchstens Dimension

d

hat und ich weiss, ℬd hat

d

linearun abhängige Elemente hat " ja

"mit dessen Lin.Komb. ich alle Elemente aus Pd(ℝ) darstellen kann"

\to

das steht nirgendwo

\to

ist zwar offensichtlich aber das musst du zeigen

\to

dafür ein beliebiges Polynom vom Grad

\leq d

nehmen und linearkombinieren über die basis.

b)

"Genau wie oben bildet sich aus dieser Menge ℱd schlussendlich Terme die Monome enthalten, die wieder lin. unabh. sind und dessen Grad genau dem Grad der Dimension entspricht.. Auch hier verstehe ich nicht ganz was ich zeigen soll"

\to

das was du mit worten argumentierst musst du noch zeigen

\to

das du die Monome linearkombinieren kannst

c)

"mal genau weiss was für eine

A

. ich habe"

\to

bei Basiswechsel immer die Identität

\to

andere Schreibeweise

: M_{B_{1}}^{B_{2}} (i d)

für Basiswechselmatrizen für

B_{1}, B_{2}

Basen mit

dim (B_{1}) = dim (B_{2}) = d

Merkregel : Die Spalten der Basiswechselmatrix von

B_{1}

nach

B_{2}

ergeben sich durch die Darstellung der Basisvektoren von

B_{1}

über die Basisvektoren von

B_{2} \Rightarrow {(b_{i})}_{1} = {(λ_{1})}_{i} \cdot {(b_{1})}_{2} + {(λ_{2})}_{i} \cdot {(b 2)}_{2} + . .

+ {(λ_{d})}_{i} \cdot {(b_{d})}_{2} = {(\begin{matrix} {(λ_{1})}_{i} \\ {(λ_{2})}_{i} \\ ... \\ {(λ_{d})}_{i} \end{matrix})}_{B_{2}}

für alle

i (1 ... d)

\Rightarrow M_{B_{1}}^{B_{2}} (i d) = ({(\begin{matrix} {(λ_{1})}_{1} \\ {(λ_{2})}_{1} \\ ... \\ {(λ_{d})}_{1} \end{matrix})}_{B_{2}}, {(\begin{matrix} {(λ_{1})}_{2} \\ {(λ_{2})}_{2} \\ ... \\ {(λ_{d})}_{2} \end{matrix})}_{B_{2}}, {(\begin{matrix} ... \\ ... \\ ... \\ ... \end{matrix})}_{B_{2}}, {(\begin{matrix} {(λ_{1})}_{d} \\ {(λ_{2})}_{d} \\ ... \\ {(λ_{d})}_{d} \end{matrix})}_{B_{2}})

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