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Basiswechsel von Polynomen, R^2 in R^1

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Vektorräume

Tags: Angewandte Lineare Algebra, basiswechsel, polynom, Vektorraum

Tim97 aktiv_icon

21:30 Uhr, 19.12.2016

Hey, bräuchte drinend mal Hilfe.

Und zwar ist die lineare Abbildung

f (x) \to f (x + 3) - f (x)

R (x) 2 \to R (x) 1

Die geordneten Basen sind:

B 1 = (x^{2}; x; 1)

B 2 = (4 x^{2} + 3 x + 2; 5 x^{2} + 4 x + 2; 9 x^{2} + 7 x + 2)

C 1 = (x; 1)

c 2 = (24 x + 45; 30 x + 57)

GEsucht wird die Matrixdarstellung von

f

bezülich der Basen

B 1

und

C 1,

also

C 1 [f] b 1,

sowie die Transformationsmatrix zwischen den Basen

B 2

und

B 1

.

Ich komm selbst überhaupt nicht voran.
Vielen Dank schon mal im Vorraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

mihisu aktiv_icon

01:26 Uhr, 20.12.2016

Setze die Basisvektoren der Basis

B_{1}

in die Abbildung

f

ein und stelle die so erhaltenen Vektoren jeweils als Linearkombination von Basisvektoren der Basis

C_{1}

dar.

Das heißt:

Suche die Koeffizienten

λ_{i j}

mit

f (x^{2}) = λ_{11} \cdot x + λ_{21} \cdot 1

f (x) = λ_{12} \cdot x + λ_{22} \cdot 1

f (1) = λ_{13} \cdot x + λ_{23} \cdot 1

Dann ist

(\begin{matrix} λ_{11} & λ_{12} & λ_{13} \\ λ_{21} & λ_{22} & λ_{23} \end{matrix})

die gesuchte Matrix

C_{1} [f] B_{1}

.

\\\\

Zur Transformationsmatrix zwischen

B_{2}

und

B_{1} :

Welche ist verlangt?
Die Transformationsmatrix

B_{1} [i d] B_{2}

von

B_{2}

nach

B_{1}

oder die Taransformationsmatrix von

B_{2} [i d] B_{1}

von

B_{1}

nach

B_{2}

.

Wenn das nicht genauer spezifiert ist, würde ich wohl annehmen, dass

B_{1} [i d] B_{2}

gemeint ist. Sonst würde es wohl "zwischen

B_{1}

und

B_{2}

" statt "zwischen

B_{2}

und

B_{1}

" lauten. (Schau aber nochmal genau in den Aufgabentext.)

Wenn ich richtig liege und

B_{1} [i d] B_{2}

gemeint ist:

Stelle die Basisvektoren der Basis

B_{1}

jeweils als Linearkombination von Basisvektoren der Basis

B_{2}

dar. Finde also die Koeffizienten

μ_{i j}

mit

x^{2} = μ_{11} \cdot (4 x^{2} + 3 x + 2) + μ_{21} \cdot (5 x^{2} + 4 x + 2) + μ_{31} \cdot (9 x^{2} + 7 x + 2)

x = μ_{12} \cdot (4 x^{2} + 3 x + 2) + μ_{22} \cdot (5 x^{2} + 4 x + 2) + μ_{32} \cdot (9 x^{2} + 7 x + 2)

1 = μ_{13} \cdot (4 x^{2} + 3 x + 2) + μ_{23} \cdot (5 x^{2} + 4 x + 2) + μ_{33} \cdot (9 x^{2} + 7 x + 2)

Dann ist

(\begin{matrix} μ_{11} & μ_{12} & μ_{13} \\ μ_{21} & μ_{22} & μ_{23} \\ μ_{31} & μ_{32} & μ_{33} \end{matrix})

die Transformationsmatrix

B_{1} [i d] B_{2}

von der Basis

B_{2}

zur Basis

B_{1}

.

\\

Alternativ kann man auch zunächst die Transformationsmatrix

B_{2} [i d] B_{1} = (\begin{matrix} 4 & 5 & 9 \\ 3 & 4 & 7 \\ 2 & 2 & 2 \end{matrix})

von

B_{1}

nach

B_{2}

ablesen und diese invertieren, um die Transformationsmatrix

B_{1} [i d] B_{2} = {(B_{2} [i d] B_{1})}^{- 1} = {(\begin{matrix} 4 & 5 & 9 \\ 3 & 4 & 7 \\ 2 & 2 & 2 \end{matrix})}^{- 1}

von

B_{2}

nach

B_{1}

zu erhalten.

Tim97 aktiv_icon

15:55 Uhr, 20.12.2016

Vielen Dank, dass hat mir schonmal sehr geholfen.

Hab jetzt für die Matrix C1[f]B1
(6 0 0)
(9 3 0)

als Ergbenis raus.

Jetzt muss ich noch eine zweite Aufgabe lösen...

Es seien K=

ℝ

, V=

R^{3}

, B=(b1,b2,b3)und B˜=(b˜1,b˜2,b˜3)mit

b 1 = (\begin{array}{rcl} 1 \\ 2 \\ - 2 \end{array}), b 2 = (\begin{array}{rcl} 2 \\ - 3 \\ 3 \end{array}), b 3 = (\begin{array}{rcl} 0 \\ - 1 \\ - 1 \end{array})

\tilde{B_{1}} = (\begin{array}{rcl} - 7 \\ 15 \\ - 13 \end{array}), \tilde{B_{2}} = (\begin{array}{rcl} 9 \\ 0 \\ 6 \end{array}), \tilde{B_{3}} = (\begin{array}{rcl} 21 \\ 12 \\ - 30 \end{array})

zwei Basen von V und

a 1 = (\begin{array}{rcl} 9 \\ 0 \\ 6 \end{array})

a 2 = (\begin{array}{rcl} - 3 \\ - 3 \\ 9 \end{array})

a 3 = (\begin{array}{rcl} 21 \\ 12 \\ - 30 \end{array})

∈V.

Die Abbildung f∈End(V)sei gegeben durch f(

b_{i}

a_{i}

für i=1,2,3.

Gesucht wird die Darstellungsmatrix

[f]_{B}

mihisu aktiv_icon

16:48 Uhr, 20.12.2016

Für

_{C_{1}} [f]_{B_{1}}

komme ich auf das gleiche Ergebnis.

\\\\

Bei der nächsten Aufgabe schreibst du, es wird die Darstellungsmatrix

[f]_{B}

gesucht. Da fehlt die Angabe, welche Basis im Zielraum verwendet werden soll. Oder soll dann auch im Zielraum die Basis

B

verwendet werden. Dann wundert mich aber, warum die Basis

\tilde{B}

angegeben ist, oder gibt es da noch weitere Teilaufgaben. (Das hat mich auch schon bei der vorigen Aufgabe gewundert, warum da noch eine Basis

C_{2}

angegeben war.)

Ansonsten geht das genauso wie vorher:
Basisvektoren einsetzen und das Ergebnis jeweils als Linearkombination der Basis des Zielraums darstellen. Dann die Koeffizienten aus den Linearkombinationen ablesen und in eine Matrix schreiben.

Tim97 aktiv_icon

17:26 Uhr, 20.12.2016

Bei mir wird nur angegeben:"Die Darstellungsmatrix von f bezüglich der Basis B ist

[f]_{B}

= ". Deswegen bin ich auch davon ausgegangen das B auch im Zielraum verwendet werden soll.

\tilde{B}

wird in einer anderen Aufgabe noch verwendet, aber dann wäre der Text viel zu lang geworden.

Laut der Funktion f(

b_{i})

a_{i}

wird

b_{1}

a_{1}

.
Das würde ja bedeuten, dass ich einfach nur

a_{1}, a_{2}, a_{3}

als linearkombinationen der Basis B darstellen müsste, oder liege ich da falsch ?

mihisu aktiv_icon

17:46 Uhr, 20.12.2016

Ok. Bei Endomorphismen ist es auch durchaus üblich die gleiche Basis im Definitionsbereich wie im Zeielbereich zu verwenden und dementsprechend nur eine Basis anzugeben. Mich hatte nur verwirrt, warum da noch eine Basis

\tilde{B}

angegeben war. Aber wenn die tatsächlich wohl zu einer anderen Teilaufgabe gehört, ist alles klar.

\\

"Laut der Funktion

f (b_{i}) = a_{i}

wird

b_{1}

a 1

.
Das würde ja bedeuten, dass ich einfach nur

a_{1}, a_{2}, a_{3}

als linearkombinationen der Basis

B

darstellen müsste, oder liege ich da falsch?"

Genauso ist es!

\\\\
Edit:

Als Ergebnis erhalte ich dann übrigens:

[f]_{B} = (\begin{array}{rcl} 3 & - 3 & 15 \\ 3 & 0 & 3 \\ - 3 & - 3 & 9 \end{array})

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