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Basiswechselmatrix
Universität / Fachhochschule
Matrizenrechnung
Tags: Matrizenrechnung
 
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Hallo zusammen, ich habe ein kleines Verständnisproblem. Wenn ich eine diagonalisierbare Matrix habe, dann berechne ich die Eigenwerte und Eigenvektoren. Anhand der Eigenwerte kann ich dann die Diagonalmatrix bilden und die Eigenvektoren bilden eine Matrix . Diese Matrix stellt die Basis zur Diagonalmatrix dar, oder (Diagonalmatrix ist quasi die Abbildungsmatrix bezüglich der Basis . Warum ist nun auch die Basiswechselmatrix nach ? Ist die Matrix grundsätzlich bezüglich der Standardbasis( angegeben? Es gilt ja: BV=VD Aber wenn ich mir überlege dann wäre die Basiswechselmatrix von der Basis E(Standardbasis) zur Basis V(Eigenvektoren) ja eigentlich anders zu berechnen oder ? Weil und stellen ja in diesem Sinne keine Basis dar oder (sondern Abbildungsmatrizen bezüglich einer Basis) ? Danke im Voraus ! |
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Hallo, wenn eine Matrix ohne weitere Informationen gegeben ist, fasst man sie als darstellende Matrix für eine lineare Abbildung auf, und zwar bezüglich der Standardbasis. In Deinem Fall bilden die Spalten von eine weitere Basis. Die Basiswechselmatrix von der Standardbasis zu dieser neuen Basis ist . Die darstellende Matrix von bezüglich der neuen Basis ist D. Gruß pwm |
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vielen Dank ! Also wäre zusammenfassend die Basiswechselmatrix und somit ? Also verallgemeinert quasi die Gleichung umgestellt: wird zu sodass dann die Basiswechselmatrix ist? |
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Hallo, ja, so ist es. Man braucht sich ja nur merken, was die Basiswechselmatrix tun soll: Umrechnen der alten Koordinaten in die neuen, das führt zu der von Dir angegebenen Gleichung und damit zu . Bemerkung: Ich finde die Bezeichnung "Basiswechselmatrix" nicht sehr treffend. Soll sich das auf die Umrechnung von alten auf neue Koordinaten beziehen oder umgekehrt? Oder auf die Umrechnung der Basen selbst? Am besten überlegt man sich, was man braucht, wenn man's braucht . Gruß pwm |
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Ok, danke. Wäre es ein Unterschied, wenn es um die Umrechnung der Basen selbst geht? |
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Hallo, ja, probiers mal aus: Wenn zwei Basen und (als Matrizen geschrieben) durch mit einer regulären Matrix verbunden sind, wie transformieren sich dann die Koordinaten? Gruß pwm |
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Müsste ich dann mit multiplizieren ? Woran erkenne ich welche "Basiswechselmatrix" gesucht ist? |
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Hallo, "Basiswechselmatrix" scheint in der Regel die Koeffizientenwechselmatrix zu bezeichnen, wie Du es oben gemacht hast. Ohnehin gilt für Dich die Sprachregelung Eurer Vorlesung Gruß pwm |
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Ok vielen Dank ! |
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