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Basiswechselmatrix, Frage zu Unteraufgabe

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Linear Abbildung

mod32 aktiv_icon

20:08 Uhr, 17.03.2019

Hallo zusammen,

habe folgendes gegeben:

U = V =

R³

f : U \to V

f

ist konkret gegeben, kann ich also als Matrix darstellen.

Dazu zwei Basen

B

und

B'

des R³.

In der ersten Teilaufgabe soll ich bestimmen: B'

[

id R³]B
Dies ist mir soweit klar,

B'

invertieren, dann multiplizieren, erst mit A (Matrix-Darstellung von

f),

anschließend mit B.

Nun lautet die zweite Teilaufgabe:
Berechnen Sie UNTER VERWENDUNG DER WECHSELMATRIX AUS AUFGABE 1 die Matrix von

f

bzgl. der Basen

B

und E³, also E³

[

f]B.

Normalerweise würd ich sagen: E³ invertieren (wird dann ja wieder E³), dann multiplizieren mit A und B.
Aber was ist hier stattdessen gemeint?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

pwmeyer aktiv_icon

08:10 Uhr, 18.03.2019

Hallo,

zunächst scheint Ihr ein Symbol

C [f] B

eingeführt zu haben. Wie ist das definiert?

In der ersten Teilaufgabe ist von B'

[

ℝ^{3}] B

die Rede. Warum willst Du mit A multiplizieren, was ist A?

Wie ist

f

definiert? Als Matrix? Bezüglich welcher Basis?

Gruß pwm

michaL aktiv_icon

08:22 Uhr, 18.03.2019

Hallo,

sei

V

ein endlich dimensionaler

K

-Vektorraum (also isomorph zu

K^{n}

für ein

n \in ℕ_{\geq 1}

φ

ein Isomorphismus auf

V

B

und

C

zwei Basen und

E

die Standardbasis auf

V

.
Zur Verkürzung legen wir noch fest, dass

M_{B \to E}

die Basiswechselmatrix von der Basis

B

in die Standardbasis

E

(die Matrix hat als Spalten die Spalten der Basis

B

in der gegebenen Reihenfolge von

B

) und

M_{B \to C} (φ)

die darstellende Matrix für die Abbildung

φ

von Basis

B

(Urbilder) in Basis

C

(Bilder).

Dann gilt:

M_{B \to C} (φ) = M_{E \to C} M_{E \to E} (φ) M_{B \to E}

Eigentlich musst du nur noch die drei Basen zuordnen.

So ein Ergebnis müsstet ihr auch in der Vorlesung gehabt haben. Außerdem werden solche Aufgaben üblicherweise in der Übung beispielhaft durchgearbeitet.
Und bei euch?

Mfg Michael

mod32 aktiv_icon

08:37 Uhr, 18.03.2019

Guten Morgen ;-)

Ich verstehe schon, was du hier andeuten möchtest :-P)
Muss dich aber enttäuschen, im Skript finde ich nur das, was zu meinem obigen Ansatz führte, in den Übungsaufgaben wurde es garnicht behandelt...

pwmeyer:

entschuldige, ich dachte, die Angaben seien bekannt.

C [f] B

meint:

B

in der Darstellung C.

Mit A (der Matrix-Darstellung von

f)

möchte ich multiplizieren, weil es in meinem Skript eine Beispielaufgabe gibt, die nach diesem Muster funktioniert.

f

habe ich oben doch angegeben? Hier aber gern nochmal konkret:

f : ((x 1, x 2, x 3)) = (2 x 2, x 1 + x 3, 0)

pwmeyer aktiv_icon

12:02 Uhr, 18.03.2019

Hallo,

"C

[

f]B meint:

B

in der Darstellung C." Du erklärst

C [f] B,

ohne "f" zu benutzen? Das kann doch nicht stimmen.

Jedenfalls, wie sieht denn die Matrixdarstellung von Deinem

f

aus - nur damit wir darüber sicher sind.

Gruß pwm

mod32 aktiv_icon

13:09 Uhr, 18.03.2019

Servus pwmeyer, danke für deine Geduld!

Wenn ich die oben genannte Funktion

f

als Matrix schreibe, so erhalte ich:

0, 2, 0

1, 0, 1

0, 0, 0

pwmeyer aktiv_icon

19:00 Uhr, 18.03.2019

Hallo,

was ist denn jetzt eigentlich noch Deine Frage?

Gruß pwm

mod32 aktiv_icon

09:16 Uhr, 19.03.2019

Nun, dass Teilaufgabe 1 (also der Wechsel von Matrix

B

in Matrix

B'

klar ist, sagte ich ja bereits?

Mir geht es darum, wie ich DARAUS die Darstellung in der Standardbasis

E^{3}

erhalte.
Es muss ja einen Zusammenhang geben, dieser ist mir jedoch noch nicht klar.

pwmeyer aktiv_icon

10:43 Uhr, 19.03.2019

Ok, das verstehe ich auch nicht. Bei der zweiten Teilaufgabe kommen nur die Daten

f, B

und

E^{3}

vor. Es fehlt ein Bezug zu B'???

Gibts ein Original von dieser Aufgabe?

Gruß pwm

michaL aktiv_icon

11:16 Uhr, 19.03.2019

Hallo,

ok, ich nähere mich mal "eurer" Schreibweise an. (Wobei ich annehme, dass die Leserichtung wegen der Matrix-Vektormultiplikation von rechts nach links ist.)

Die Abbildung sei

f

A

B

C

D

irgendwelche Basen.

Dann gilt:

C [f] D = C [id] A \cdot A [f] B \cdot B [id] D

Es sollte erwähnt werden, dass

A [id] B = {(B [id] A)}^{- 1}

gilt.
Insbesondere für die Standardbasis

E

gilt:

E [id] B

ist die Matrix, die durch Eintragen der Vektoren der Basis

B

als Spalten in entsprechender Reihenfolge entsteht.

So, was hast du nun?
Dir ist quasi

B ʹ [id] B

bekannt.

Nun musst du evtl.

E [f] B ʹ

aufstellen (vielleicht geht das wegen der Art von

B ʹ

bezogen auf

f

ganz einfach?!).
Anschließend müsstest du rechts die Basis

B ʹ

gemäß Formel oben und Matrix aus a) in Basis

B

umwandeln.
Genaueres, da schließe ich mich pwmeyer voll an, kann man vermutlich nur durch die immer sinnvolle Vorlage der Originalaufgabenstellung (als Scan z.b.) sagen.

Mfg Michael

mod32 aktiv_icon

14:47 Uhr, 19.03.2019

Habe auf einen Scan bisher verzichtet, da ich mir nicht sicher bin, wie es in diesem Fall mit dem Copyright aussieht.
Da ich hier aber auch keinen Ausweg sehe, es anders zu lösen, hänge ich mal das passende Bild an ;-)

pwmeyer aktiv_icon

17:47 Uhr, 19.03.2019

Hallo,

wenn A die Matrix für

φ

bezülgich der Standardbasis bezeichnet, dann ist gesucht

A \cdot B

. Das kann man natürlich berechnen als

A \cdot B' \cdot (B'^{- 1} \cdot B)

Ob das nun eine tolle Aufgabe ist, weiß ich nicht?

Gruß pwm

mod32 aktiv_icon

08:56 Uhr, 20.03.2019

Vielen Dank!
Ich muss das nachher mal rechnen und ein wenig damit rumprobieren...

Was meinste mit "tolle Aufgabe" ? ;-)

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