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Basiswechselmatrix berechnen

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Matrizenrechnung

Tags: basiswechsel, Matrizenrechnung

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WildSeven

WildSeven aktiv_icon

18:50 Uhr, 24.10.2017

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Hallo,

ich habe zwei Matritzen gegeben:

σ_{x} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

und

σ_{y} = (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix})

Nun soll ich eine Basiswechselmatrix

U

bestimmen für die gilt:

U \cdot σ_{x} \cdot U^{- 1} = D

und mit

D

soll ich dann

U \cdot σ_{y} \cdot U^{- 1}

bestimmen.

Ich weiß jetzt nicht, ob meine Lineare Algebra VL einfach zu lange her ist oder ob ich komplett auf den Schlauch stehe. Ich bin mir nicht recht sicher wie ich hier jetzt rangehen soll. Wenn mich also jemand mal in die richtige Richtung lenken will wäre ich sehr dankbar.

Falls das irgendwie nötig ist, ich habe Bereits (als vorrangehende Aufgabe) die Eigenwerte und Eigenvektoren von

σ_{x}

bestimmt.

Hoffen ihr könnt mich etwas weiterbringen

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

pwmeyer

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20:08 Uhr, 24.10.2017

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Hallo,

Dann nimm mal für

U^{- 1}

eine Matrix, deren Spalten aus zwei Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten bestehen.

Gruß pwm

WildSeven

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08:52 Uhr, 25.10.2017

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Danke schonmal für die Antwort. Als Eigenwerte hab ich

- 1

und 1 und die eigenvectoren sind

(\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

und

(\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix})

. Spricht eine mögliche Matrix wäre dann

(\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{matrix})

.
Da ja

U^{- 1}

die inverse von

U

ist müsste ich ja für

U

die Inverse von

U^{- 1}

bilden (oder). Da bekomme ich dann

(\begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix})

. Damit komm ich dann bei

U \cdot σ_{x} \cdot U^{- 1}

auf

(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

was ja irgendwie Sinn macht. Aber das ist ja keine Diagonalmatrix...wo liegt jetzt also mein Denkfehler?

Antwort

pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

10:15 Uhr, 25.10.2017

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Hallo,

es ist

U := \frac{1}{2} \cdot (\begin{matrix} 1 & 1 \\ - 1 & 1 \end{matrix})

. Dann kommt's raus. Wenn nicht, kannst du mal Diene Zwischenergebnisse posten

Gruß pwm

WildSeven

WildSeven aktiv_icon

13:08 Uhr, 25.10.2017

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Okay, ich schein mich irgendwie verrechnet zu haben nun komm ich auf

(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

und das müsste ja (trotz dem

-)

eine Diagonalmatrix sein...oder?

Also meine Rechnung:

(\begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \end{matrix})

(\begin{matrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & - \frac{1}{2} \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

Sollte das Richtig sein, wie genau soll ich dann den zweiten Teil der Aufgabe angehen? Also spricht mit diesem

D

was ich nun habe

U \cdot σ_{y} \cdot U^{- 1}

bestimmen?

Antwort

pwmeyer

pwmeyer aktiv_icon

13:42 Uhr, 25.10.2017

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Hallo,

Du kannst ja

U \cdot σ_{y} \cdot U^{- 1}

einfach ausrechnen, aber den Zusammenhang mit

D -

bzw. den Sinn der Aufgabe - sehe ich jetzt auch noch nicht.

Gruß pwm

Frage beantwortet

WildSeven

WildSeven aktiv_icon

15:38 Uhr, 25.10.2017

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Dann werde ich das jetzt auch so machen. ;-)
Ich danke dir sehr für deine Hilfe!

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