Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Basiswechselmatrix von B* nach C*

Basiswechselmatrix von B* nach C*

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Vektorräume

Tags: basiswechsel, duale basis, Linear Abbildung, Vektorraum

mariem aktiv_icon

02:22 Uhr, 09.09.2018

Hallo,

sei

K

ein Körper und

V

ein

n

-dimensionaler

K

-Vektorraum mit Basis

B = {b_{1}, \dots, b_{n}}

. Mit

V^{⋆}

bezeichnen wir den Dualraum von

V

B^{⋆}

ist die zu

B

duale Basis von

V^{⋆}

.

(i) Sei

C = {c_{1}, \dots, c_{n}}

eine weitere Basis von

V

sowie

C^{⋆}

ihre duale Basis. Weiter sei

S = (s_{i j})_{1 \leq i, j \leq n}

die Basiswechselmatrix von

B

C

, d.h.

c_{j} = \sum_{i = 1}^{n} s_{i j} b_{i}

für

j \in {1, \dots, n}

.
Zeigen Sie, dass

(S^{- 1})^{T} = : A = (a_{i j})_{1 \leq i, j \leq n}

die Basiswechselmatrix von

B^{⋆}

nach

C^{⋆}

ist, d.h. dass

c_{j}^{⋆} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i j} b_{i}^{⋆}

gilt für

j \in {1, \dots, n}

.

(ii) Sei

Λ = {λ_{1}, \dots, λ_{n}}

eine Basis des Dualraums

V^{⋆}

.
Zeigen Sie, dass es eine Basis

C

von

V

gibt, sodass

C^{⋆} = Λ

.

(i) Könnt ihr mir ein Tipp geben wie man das zeigen kann? Also wie muss ich hier vorgehen? Ich habe leider keine Idee.

(ii) Benutzt man hier die Basiswechselmatrix?

ermanus aktiv_icon

10:35 Uhr, 09.09.2018

Hallo mariem,

Zu (i): Berechne doch mal

c_{j}^{*} (c_{k})

. Du weißt ja, dass das

δ_{j k}

ist.
Zum Schluss solltest du so etwas wie

\sum_{i} a_{i j} s_{i k}

bekommen ...
Zu (ii): Da nehme ich auch an, dass du mit dem Ergebnis aus (i) arbeiten sollst.

Gruß ermanus

mariem aktiv_icon

14:47 Uhr, 09.09.2018

Wir haben folgendes:

c_{j}^{⋆} (c_{k}) = c_{j}^{⋆} (\sum_{i = 1}^{n} s_{i k} b_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} s_{i k} c_{j}^{⋆} (b_{i}) = \sum_{i = 1}^{n} s_{i k} \sum_{λ = 1}^{n} a_{λ j} b_{λ}^{⋆} (b_{i})

= \sum_{i = 1}^{n} s_{i k} \sum_{λ = 1}^{n} a_{λ j} δ_{λ i} = \sum_{i = 1}^{n} s_{i k} a_{i j}

Davon folgt es dass

\sum_{i = 1}^{n} s_{i k} a_{i j} = δ_{j k}

.

Ist alles richtig? Was bekommen wir davon?

ermanus aktiv_icon

14:57 Uhr, 09.09.2018

Ja, das sieht super aus :-)
Ich nenne die Komponenten von

A^{T}

einfach mal

a_{i j}^{T}

.
Dann hast du gezeigt:

\sum_{i = 1}^{n} a_{j i}^{T} s_{i k} = δ_{j k}

.
Erinnert dich das vielleicht zufällig ;-) daran, wie des Element
eines Matrixproduktes an der Stelle

(j, k)

berechnet wird?

mariem aktiv_icon

15:28 Uhr, 09.09.2018

Wenn

A = (a_{i j})

dann ist

A^{T} = (a_{j i})

, oder?

Ich stehe gerade auf dem Schlauch warum

\sum_{i = 1}^{n} a_{j i}^{T} s_{i k} = δ_{j k}

gilt. Kannst du mir das erklären?

Davon bekommt man dann dass das Ergebnis die Einheitsmatrix ist, oder?

ermanus aktiv_icon

15:38 Uhr, 09.09.2018

Es ist doch

a_{i j} = a_{j i}^{T}

(A^{T})_{j i} = a_{i j}

und ich habe das

j i

-Element von

A^{T}

eben

a_{j i}^{T}

genannt, so dass

a_{j i}^{T} = a_{i j}

ist.
Also hast du doch heraus bekommen:

A^{T} \cdot S = I_{n}

mariem aktiv_icon

15:47 Uhr, 09.09.2018

Achso, ok! Davon haben wir dann dass

S^{- 1} = A^{T} \Rightarrow {(S^{- 1})}^{T} = {(A^{T})}^{T} \Rightarrow {(S^{- 1})}^{T} = A

.

Aber ich habe nicht verstanden wie wir so gezeigt haben dass das die Basiswechselmatrix von

B^{⋆}

nach

C^{⋆}

ist. Warum gilt das?

ermanus aktiv_icon

15:52 Uhr, 09.09.2018

Das steht ja in der Aufgabenstellung:
"...

A

die Basiswechselmatrix von

B^{*}

nach

C^{*}

ist, d.h. dass

c_{j}^{*} =

...".
Da steht also, dass per Definition

A = (a_{i j})

die Matrix des Basiswechsels sein soll.

mariem aktiv_icon

16:02 Uhr, 09.09.2018

Wir wollen also zeigen dass

c_{j}^{⋆} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i j} b_{i}^{⋆}

aber ich habe diese Gleichung im 3ten Beitrag benutzt, das kann man dann nicht, oder wie?

Bin jetzt ein bisschen verwirrt.

ermanus aktiv_icon

16:09 Uhr, 09.09.2018

Nein, das wollen wir nicht zeigen, sondern das ist unsere
Voraussetzung: wenn wir den Basiswechsel von

B^{*}

nach

C^{*}

durch
eine Matrix beschreiben wollen, dann müssen wir jedes Element der "neuen" Basis

c_{j}^{*}

als Linearkombination der "alten" Basis

b_{i}^{*}

schreiben, die
dabei auftretenden Koeffizienten bilden die Basistransformationsmatrix.
Bei uns heißen diese

a_{i j}

, d.h.

A

ist unsere Basistransformationsmatrix.
Was verwirrt dich denn dabei so ???????
Es ist doch alles völlig OK!

mariem aktiv_icon

16:22 Uhr, 09.09.2018

Also es ist vorausgesetzt dass

A

Basistransformationsmatrix ist von

B^{⋆}

nach

C^{⋆}

, also dass

c_{j}^{⋆} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i j} b_{i}^{⋆}

und wir wollen zeigen dass Basistransformationsmatrix gleich

A := {(S^{- 1})}^{T}

ist.

Habe ich das richtig verstanden?

Was (ii) angeht:
Sei

M

die Basistransformationsmatrix von

B^{⋆}

nach

Λ

.
Dann gilt von der Teilaufgabe (i) dass

M = {(S^{- 1})}^{T}

, oder nicht?
Oder gilt das nur für die bestimmte Basis

C^{⋆}

ermanus aktiv_icon

16:26 Uhr, 09.09.2018

Ja, so hast du das richtig verstanden :-)
(ii) gucke ich mir später an ...

mariem aktiv_icon

16:41 Uhr, 09.09.2018

Ok, bis später!

mariem aktiv_icon

23:40 Uhr, 09.09.2018

Bei (ii) habe ich mir folgendes überlegt:

Sei

M

die Basistransformationsmatrix von

B^{⋆}

nach

Λ

.

Sei

S := (M^{- 1})^{T}

.

Sei

C

die Basis die wir durch die Basistransformationsmatrix

S

bekommen von der Basis

B

.

Von (i) haben wir dass

{(S^{- 1})}^{T}

die Basistransformationsmatrix von der Dualbasis

B^{⋆}

nach der Dualbasis

C^{⋆}

ist. Da

{(S^{- 1})}^{T} = M

und

M

die Basistransformationsmatrix von

B^{⋆}

nach

Λ

ist, folgt es dass

Λ = C^{⋆}

.

Ist alles richtig? Könnte man etwas verbessern?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1438482

1438336

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?