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Baumdiagramm, bedingte Wahrscheinlichkeit

Universität / Fachhochschule

Tags: Stochastik

Didgeridoo aktiv_icon

23:11 Uhr, 26.08.2012

Ich versuche mithilfe des Baumdiagramms und den gegebenen Wahrscheinlichkeiten (die ich jetzt nicht angebe, aber das spielt jetzt keine Rolle),

P (R \cap \overline{S})

zu berechnen? Nur wie mache ich das?
Im Anhang mein Problem und Ansatz, aber ich komme nicht weiter...
Vielleicht kann mir jemand helfen. Gilt

P (R \cap \overline{S}) = P (R) P (\overline{W} ∣ R) P (\overline{S} ∣ \overline{W}) + P (R) P (W ∣ R) P (\overline{S} ∣ W)

oder gilt das eher

P (\overline{S} ∣ R)

?
Wie kann man das beweisen, ich komme nicht weiter. Wäre sehr froh um Hilfe, vielen Dank! :-)
LG Didgi

Ma-Ma aktiv_icon

23:21 Uhr, 26.08.2012

Poste doch mal die komplette Aufgabenstellung, evtl. geht es viel einfacher

. .

.
LG Ma-Ma

Didgeridoo aktiv_icon

23:28 Uhr, 26.08.2012

Falls du meinst, dass ich

P (\overline{S} ∣ R)

gegeben habe, das ist leider nicht der Fall.
Aber hier die ganze Aufgabenstellung:
Herr Zimperling legt grossen Wert darauf, bei Regenwetter trocken zu bleiben. Deshalb nimmt er gemäss Wetterprognosen einen Schirm mit:
Ist Regen angekündigt, nimmt er mit Wahrscheinlichkeit 0.9 einen Schirm mit.
Ist kein Regen angekündigt, nimmt er trozdem mit Wahrscheinlichkeit 0.4 den Schirm mit.
Im Weiteren nehmen wir an, dass es an einem gegebenen Tag mit Wahrscheinlichkeit 1/2 regnet. Zur Genauigkeit der Wettervorhersage nehmen wir folgendes an:
Falls es regnet, meldet die Wetterprognose mit Wahrscheinlichkeit 0.8 Regen, mit Wahrscheinlichkeit 0.2 jedoch fälschlicherweise kein Regen.
Falls es nicht regnet, meldet die Wetterprognose mit Wahrscheinlichkeit 0.6 richtigerweise kein Regen, mit Wahrscheinlichkeit 0.4 jedoch fälschlicherweise Regen.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er Zimperling nass wird, d.h. die Wahrscheinlichkeit, dass es regnet und er den Schirm nicht dabei hat.

Didgeridoo aktiv_icon

20:12 Uhr, 27.08.2012

Kann das wirklich niemand beantworten?

Matlog aktiv_icon

22:42 Uhr, 27.08.2012

Ich befürchte sehr, dass die Antwort auf Deine letzte Frage "Ja" heißen muss.

Für mich verdichtet sich der Eindruck immer mehr, dass hier zu wenige Angaben gemacht sind, um die gesuchte Wahrscheinlichkeit eindeutig anzugeben.
Ich könnte bisher die gesuchte Wahrscheinlichkeit höchstens zwischen 0 und

0,16

eingrenzen.

Wo stammt diese Aufgabe denn her?

Matlog aktiv_icon

23:15 Uhr, 27.08.2012

Wenn ich keinen Fehler gemacht habe, dann treffen in beiden Beispielen unten alle Voraussetzungen der Aufgabenstellung zu.
Dabei habe ich Deine Notationen verwendet:

R :

es regnet

S :

er hat den Schirm dabei

W :

Wetterprognose Regen

Beispiel 1:

P (R \cap W \cap S) = 0,4

P (R \cap W \cap \bar{S}) = 0

P (R \cap \bar{W} \cap S) = 0,1

P (R \cap \bar{W} \cap \bar{S}) = 0

P (\bar{R} \cap W \cap S) = 0,14

P (\bar{R} \cap W \cap \bar{S}) = 0,06

P (\bar{R} \cap \bar{W} \cap S) = 0,06

P (\bar{R} \cap \bar{W} \cap \bar{S}) = 0,24

also

P (R \cap \bar{S}) = 0

Beispiel 2:

P (R \cap W \cap S) = 0,34

P (R \cap W \cap \bar{S}) = 0,06

P (R \cap \bar{W} \cap S) = 0

P (R \cap \bar{W} \cap \bar{S}) = 0,1

P (\bar{R} \cap W \cap S) = 0,2

P (\bar{R} \cap W \cap \bar{S}) = 0

P (\bar{R} \cap \bar{W} \cap S) = 0,16

P (\bar{R} \cap \bar{W} \cap \bar{S}) = 0,14

also

P (R \cap \bar{S}) = 0,16

Circumference aktiv_icon

09:27 Uhr, 28.08.2012

Ich bin auf was ganz anderes gekommen...

R :

es regnet

S :

er hat den Schirm dabei

W :

Wetterprognose Regen

Die Wahrscheinlichkeit das es Regnet liegt bei

0,5

. Sollte es nicht regnen wird der Typ nicht nass, ganz egal ob mit Regenschirn oder ohne. Das ist dan unser erster Wert.

Die zweite Gabelung währe dann die Prognose, und zuletzt kommt der Regenschirm.

Sollte es Regnen liegt die wahrscheinlichkeit einer Prognose bei

0,8

wenn er die Prognose hört dann nimmt er mit einer Wahrscheilichkeit von

0,1

keinen Schirm mit:

P (R

∩

W

∩ kein

S) = 0,5 \cdot 0,8 \cdot 0,1 = 0,04

Wenn er mit einer wahrscheinlichkeit von

0,2

hört das es kein Regen gibt nimmt er mit einer Wahrscheinlichkeit von

0,6

keinen Regenschirm mit.

P (R

∩ kein

W

∩ kein

S) = 0,5 \cdot 0,2 \cdot 0,6 = 0,06

\to P (R

∩ kein

S) = 0,04 + 0,06 = 0,1

Das ist meiner Meinung nach die Wahrscheinlichkeit dafür, das er nass wird. Denn es MUSS regnen und er darf KEINEN Regenschirm dabei haben. Oder ich liege einfach nur absolut daneben. Hab schon lange keine Wahrscheinlichkeiten mehr berechnet XD.

Matlog aktiv_icon

10:07 Uhr, 28.08.2012

Hallo Circumference,

zunächst möchte ich auf einen kleinen Schreibfehler aufmerksam machen. In der Zeile mit

0,5 \cdot 0,2 \cdot 0,6

meinst Du sicher

P (R \cap

kein

W \cap

kein

S)

.

Deine Lösung ist sicherlich möglich. Aber meiner Meinung nach setzt Du etwas voraus, was im Aufgabentext nicht steht.
Beispielsweise bei der Rechnung

0,5 \cdot 0,8 \cdot 0,1

setzt Du bei der letzten Multiplikation mit

0,1

bereits voraus, dass es regnet.
Oder anders ausgedrückt: Du benutzt P(kein

S | R \cap W) = 0,1,

ich lese aus dem Aufgabentext aber nur P(kein

S | W) = 0,1

heraus.

Den Regen vorauszusetzen macht ja auch gar keinen Sinn. Wenn der gute Mann sich entscheidet, ob er den Schirm mitnimmt, weiß er ja noch gar nicht, ob es regnen wird. Die zeitliche Reihenfolge müsste

W, S, R

sein.

Didgeridoo aktiv_icon

11:16 Uhr, 28.08.2012

Uiuiui... Ich entschuldige mich in höchster Form, ich hab' einen Satz vergessen abzuschreiben. SOOORRRRYYY!!!
Ist Regen angekündigt, nimmt er mit Wahrscheinlichkeit 0.9 einen Schirm mit. Mit Wahrscheinlichkeit 0.1 vergisst er ihn allerdings.
Hmm... aber das ergibt immer noch keinen Sinn...

Die Aufgabe wurde übrigens im 2007 an einer Modulprüfung an der Uni gestellt.

Circumference aktiv_icon

12:23 Uhr, 28.08.2012

JA, sorry ich meinte auch

P (R

∩ kein

W

∩ kein

S) . .

. ich hätte das ja mit dem strich geschrieben, aber ich weiß um ehrlich zu sein nicht wie das geht...

Und ja natürlich gehe ich davon aus das es regnet, es ist doch gefragt wann der nass wird und der kann nicht nass werden wenn es nicht regnet.

Ich habe ein Baumdiagramm erstellt und habe mit Regen begonnen:
Die Wahrscheinlichkeit von

0,5

für regen und

0,5

dafür das es keinen regen gibt.
Den zweig bei dem es nicht Regnet habe ich nicht weitergeführt.

Dann geht es um die Prognose. Ein mal sagt man das es regnet ein mal nicht. Wenn er hört das es regnet dann nimmt er mit eine Wahrscheinlichkeit von

0,9

einen Regenschirm mit.

0,9

sind

90 %,

sprich in

10 %

der Fälle (es regnet, und in der Prognose wird der Regen angesagt)hat er keinen Schirm dabei, warum auch immer... daher die

0,1

. Wenn er ein schirm mitnimmt, was er mit einer Wahrscheinlichkeit von

0,9

tun wird, so wird er nicht nass.

Ich habe die Aufgabe eben so verstanden...

Matlog aktiv_icon

14:11 Uhr, 28.08.2012

@Didgeridoo:
Ich bin zwar mittlerweile allergisch gegen fehlerhafte Aufgabenstellungen, aber hier bringt der fehlende Satz ja nichts Neues (außer dass der Schussel trotz angekündingten Regens den Schirm vergisst und es nicht bewusst macht).
Also hat sich an der Lage nichts geändert.

@Circumference:
Ich habe Deine Betrachtungsweise verstanden.
Mir geht es alleine um den Satz:
"Ist Regen angekündigt, nimmt er mit Wahrscheinlichkeit

0.9

einen Schirm mit."
Diese Aussage ist völlig unabhängig davon, ob es (später) regnet oder nicht.

Vielleicht hat der Aufgabensteller es so gemeint, wie Du gerechnet hast. Dann gäbe es wenigstens eine eindeutige Lösung.
Aber: Die bedingte Wahrscheinlichkeit

P (S | W)

macht Sinn, je nach vorgegebener Wetterprognose nimmt er den Schirm mit oder nicht (die Wetterprognose muss ja nicht stimmen).

P (S | R)

oder

P (S | R \cap W)

machen für mich wenig Sinn. Es steht bereits fest, dass es regnet und dann überlegt er, ob er den Schirm mitnehmen soll?

Vielleicht gibt es ja noch andere Meinungen zu dieser Aufgabe?

P . s . : \bar{A}

kann man im Textmodus so eintippen: "bar(A)" (ohne Anführungszeichen)

Circumference aktiv_icon

15:24 Uhr, 28.08.2012

danke^^

Didgeridoo aktiv_icon

23:05 Uhr, 28.08.2012

Ich erkläre die Frage hiermit für beantwortet. Vielen Dank für eure Hilfe! :-)

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