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mathenoob1991

mathenoob1991 aktiv_icon

20:24 Uhr, 06.03.2021

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Guten Abend Zusammen,

bei einer Röntgenuntersuchung des Brustkorbs sei die Wahrscheinlichkeit, dass eine vorhandene Tbc entdeckt wird, mit p=0,9 angenommen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine TBC-freie Person fälschlich als TBC-Träger diagnostiziert wird, sei 0.0005.

i)

Aus einer großen Bevölkerung mit 0,1% Tbc-Fällen sei eine Person aufgrund der Röntgenuntersuchung als TBC-Träger eingestuft worden.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person tatsächlich Tbc hat.

ii)

Angenommen, es sei nun p=1. Hat dann eine Person mit positivem Röntgenbefund in diesem Fall sicher Tbc? (Begründung!)

erstmal:

G= Person ist Gesund
Gc= Person ist krank

T= Tbc entdeckt
Tc= Tbc nicht entdeckt

P(T)=0,9→P(Tc)=0,1
P(Tc|G)=0,0005→P(T|G)=0,9995

TBC Fälle =0,001=P(Gc)→P(G)=0,995

Gesucht ist P(T|Gc)

P(T|Gc)=P(Gc|T)⋅P(T)

ich habe vorher schon was falsch gemacht, aber sehe meinen Fehler nicht..

zu ii)

wenn p=1 wäre, dann würde ich ja sagen, aber gehe stark davon aus, dass es nicht so ist, sonst würde man die Frage nicht stellen...

LG





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Antwort
Roman-22

Roman-22

20:54 Uhr, 06.03.2021

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> ich habe vorher schon was falsch gemacht, aber sehe meinen Fehler nicht..

Vermutlich die falsche bzw. unübliche Schreibweise
Üblicherweise versteht man unter P(A|B) die (bedingte) Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von Ereignis A unter der Voraussetzung, dass B eingetreten ist.
Gesucht ist also P(Gc|T)=P(Gc∧T)P(T)=P(Gc)⋅P(T|Gc)P(T|Gc)⋅P(Gc)+P(T|G)⋅P(G)=0,001⋅0.90,9⋅0.001+0.0005⋅0,999=...



> zu ii)
> wenn p=1 wäre, dann würde ich ja sagen,

Warum, an den 0,0005 für die "false positives" hat sich ja nix geändert. ES gibt also immer noch ein paar Gesunde, bei denen der Test irrtümlich anschlägt. D.h. umgekehrt, dass es sehr wohl noch Personen mit positivem Test gibt, die aber kerngesund sind.
Du musst ja nur in die obige Formel anstelle von 0,9 die 1 einsetzen und wirst sehen, dass da nicht 100% rauskommt. Die Verbesserung der Sensitivität der Untersuchung von 90% auf 100% hat keine große Auswirkung, das sie ja nur bei einen sehr kleinen Teil der Probanden (den 0,1% Kranken) zum Tragen kommt.

P.S.: Ich schätze, dass dir möglicherweise ein anderen Antwortgeber zum Anlegen einer Vier-Felder-Tafel bei Aufgaben dieser Art raten würde ;-)
Frage beantwortet
mathenoob1991

mathenoob1991 aktiv_icon

22:46 Uhr, 06.03.2021

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Danke Roman-22,

ja ich muss mal lernen etwas detallierter und sorgfältiger zu schreiben, damit ich es übersichtlicher habe.

Vielen Dank! :-)