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Bedeutung des Integrals im Sachzusammenhang

Schüler , 13. Klassenstufe

Tags: Integralfunktion

Bea1005 aktiv_icon

10:43 Uhr, 07.08.2013

Hallo,
Ich habe eine Funktion

f (t) = \frac{8 t - 2}{4 t^{2} - 2 t + 2981}

t

ist in monaten und

f (t)

beschreibt die Änderung der Schadstoffmenge in Mengeneinheit (ME) pro Monat

Um auf die Schadstoffmenge zu gelangen brauche ich

F (t)

.
Das mir so soweit klar.

Nun die Frage: Ich soll erklären was das Integral mit den Grenzen

0 - 444

von

F (T)

bedeutet.
In der Lösung steht dass ich einfach die Schadstoffmengen von jahr 0 bis zum jahr

2007

addiere.
Dies verstehe ich aber nicht.
Denn, wenn ich die Stammfunktion von

F (T)

nochmals bilde ...rechne ich ja Mengeneinheit*Monat (balkenprinzip) ....demnach würde mein Ergenbis von

10551

ja in ME*Monat angeben werden und nicht nur in ME
ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen....verstehe dasmit dem Integral/Flächenberechnung in dem Fall nicht.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Integralfunktion

prodomo aktiv_icon

11:33 Uhr, 07.08.2013

Nein, die Fläche eines Streifens hat eine andere Einheit. Breite

d x \cdot

Höhe

f (x)

ist anschaulich Zeit

\cdot

Schadstoffmenge pro Zeit. Das ergibt nur eine Schadstoffmenge.
Merkregel: ein Fächenelement hat immer als Einheit das Produkt der Einheiten in

x -

Richtung und in

y -

Richtung.

Bea1005 aktiv_icon

11:42 Uhr, 07.08.2013

ich habe meine funktion f(t),...diese beschreibt die Schadstoffmenge Pro Monat

dann bilde ich die Stammfunktion und erhalte nur noch die schadstoffmenge...

das ergibt für mich alles noch sinn.

Nun aber soll ich

$\int F (T) d t$ berechnen.....das verstehe ich aber nicht, denn dann würde ich ja Mengeneinheit*Monat rechnen.

In der Lösung steht jedoch dass ich am ende *** ME rausbekomme.

... alle schadstoffmengen werden durch die Funkiton F(T) beschrieben und werden durch das Integral aufsummiert...(LÖSUNG)

...Leider kann ich das aber nicht nachvollziehen....

prodomo aktiv_icon

11:49 Uhr, 07.08.2013

"Alle Schadstoffmengen werden durch

F (t)

beschrieben" und durch das Integral aufsummiert. Gemeint ist

\int f (t) \cdot d t

F (T)

ist doch schon der Term nach dem Einsetzen der Grenzen.

Bea1005 aktiv_icon

11:54 Uhr, 07.08.2013

ich füge Bilder hinzu

...

. weil da eben doch nochmal das Integral von

F (t)

verlangt wird...oder?
wo liegt mein Gedankenfehler?

Stephan4

12:03 Uhr, 07.08.2013

Hallo Bea,

Dein Beispiel verstehe ich so:

f (t)

ist die Änderung der Schadstoffmenge pro Monat

F (t),

die Stammfunktion von

f (t)

ist die Schadstoffmenge pro Monat.

Die Stammfunktion von

F (t)

ist die gesamte Schadstoffmenge, die von Beginn an angefallen ist.

Nach

12

Monaten ab Beginn der Zeitrechnung der Schadstoffmengen ist

t = 12

.

Da ist ein Zuwachs der monatlichen Schadstoffmenge von

f (t = 12) = 0,0266

.

Die monatliche Schadstoffmenge ist da bereits

F (12) = 0,1834 = f (1) + f (2) + ... + f (12)

Und sie wird immer mehr.

Die bis dahin angehäufte Schadstoffmenge ist schon auf

F (1) + F (2) + ... + F (10) = 0,8700

angewachsen.

LG,
Stephan

Bea1005 aktiv_icon

12:24 Uhr, 07.08.2013

das macht aber mit den hochgeladenen Bilder wenig sinn,oder?

funke_61 aktiv_icon

12:59 Uhr, 07.08.2013

doch. macht Sinn, denn lt. Deinen Bildern ist

f (t) =

ÄNDERUNGSRATE der Schadstoffmenge pro Monat

F (t) =

Schadstoffmenge pro Monat

\int_{0}^{444} F (t) d t =

Gesamtmenge an Schadstoffen für den Zeitraum von

444

Monaten (bzw.

37

Jahren) von Beginn der Messungen im Januar

1970

bis Januar

2007

;-)

Bea1005 aktiv_icon

13:03 Uhr, 07.08.2013

das verstehe ich aber nicht

. .

.
was würde ich denn erhalten wenn ist das

\int (f (t))

mit den grenzen

0 - 444

errechne?
was macht das für einen unterscheid zum int(F(T))?mit den grenzen

0 - 444

?
Denn bei dem ersten würde ich Mengeneinheit pro Monat* Montat rechnen und erhalte dann am ende ME
beim dem zweiten hätte ich Mengeneinheit*Montat=ME*Monat..
abgesehen von den einheiten,..müssen doch die Wege etwas anderes Aussagen ...das verstehe ich leider nicht...

funke_61 aktiv_icon

13:13 Uhr, 07.08.2013

Versuch es doch mal so:

F (t) = ln (4 t^{2} - 2 t + 2981) + 12

hat die Einheit

\frac{M E}{M o n a t}

wenn Du diese Funktion ableitest, erhältst Du

f (t) = \frac{8 t - 2}{4 t^{2} - 2 t + 2981}

also die "Zeitliche Änderung der Schatstoffmenge pro Monat"
mit der Einheit

\frac{M E}{M o n a t} / M o n a t = \frac{M E}{M o n a t^{2}}

Dein Problem ist warscheinlich, dass Du Dir

f (t)

mit dieser Einheit nicht vorstellen kannst. Denk mal daran , dass eine Beschleunigung ja auch die Einheit

\frac{m}{s^{2}}

hat.
;-)

Bea1005 aktiv_icon

13:15 Uhr, 07.08.2013

da muss ich dir aber leider widersprechen
denn mein

F (t)

hat die einheit ME
und mein

f (t)

hat die Einheit ME pro Monat

. .

.
also genau anders rum..
deswegen macht es für mich geradenoch wenig sinn

Bea1005 aktiv_icon

13:20 Uhr, 07.08.2013

ich weiß einfach nicht welche Einheit meine Stammfunktion

F (t)

jetzt hat

. .

.
ME/Monate ....oder nur ME.....das verwirrt mich hier alles....
Denn wenn ich

F (5)

ausrechne bekomme ich einen

⋆ ⋆

wert.
In der Lösung steht dann ...im Monat 5 beträgt die Schadstoffmenge ***ME ...und nicht! ME/Monat...

funke_61 aktiv_icon

13:22 Uhr, 07.08.2013

Die Bilder Deines Beispiels stellen die Einheiten leider etwas unklar dar.

Wenn Du meinen letzen Post nachvollziehen kannst, dan löse Dich bitte mal etwas von Deiner Vorstellung, dass Die Einheit von

f (t)

ME/Monat ist.

Gehe bitte mal davon aus, dass

f (t)

die Einheit

\frac{M E}{M o n a t^{2}}

hat und überleg Dir damit das ganze nochmal.

Bea1005 aktiv_icon

13:23 Uhr, 07.08.2013

ja, dann würde ich das mit Integral ja verstehen
...doch dann machen die Lösungen mit dem

F (4)

keinen sinn mehr ...denn dieses ergebnis hat laut dem Lösungsbuch die Einheit ME und nicht ME/Monate....
denn da steht im Monat 4 beträgt die Schadtstoffmenge ***ME....

funke_61 aktiv_icon

13:25 Uhr, 07.08.2013

vielleicht handelt es sich ja in diesem Fall um einen Druckehler

. .

.

aber:
Wenn da steht: im Monat 4 beträgt die Schadstoffmenge ***ME
dann sind das ja genau: "ME im 4. Monat"
also nichts anderes als: "ME/Monat"

Bea1005 aktiv_icon

13:28 Uhr, 07.08.2013

also bleibt festzuhalten, dass es sich irgendwo um einen Druckfehler handeln muss? ...denn sonst macht es ja keinen Sinn?

funke_61 aktiv_icon

13:32 Uhr, 07.08.2013

nicht unbedingt.
ich habe meinen letzten Post nochmal ergänzt.
wenn eine "Schadstoffmenge in einem Monat" angegeben wird, dann hat diese hier im Beispiel einfach die Einheit "ME/Monat"
Nur die "Gesamtschadstoffmenge" hat in diesem Beispiel die Einheit "ME"
;-)

Bea1005 aktiv_icon

13:34 Uhr, 07.08.2013

okey....
das heißt an dem Satz ...Im 4. Monat ....schließe ich auf die Einheit ME pro Monat?
...dann habe ich es denke ich ganz verstanden!:-)
VIELEN VIELEN DANK!

funke_61 aktiv_icon

13:39 Uhr, 07.08.2013

ich probier es nochmal Analog zu
Weg

s

und
Geschwindigkeit

v

Mein Beispiel:
"Ein Fußgänger wandert 2 Stunden lang.
in der ersten legt er 5 km zurück
in der zweiten ebenfalls 5 km.
Also legt er in einer Stunde einen Weg von 5 km zurück."
Aber: Seine Geschwindigkeit ist 5 km/h und nicht 5 km.
Trotzdem ist die Gesamtstrecke die er insgesamt zurücklegt

10

km.
;-)

Stephan4

13:41 Uhr, 07.08.2013

Bea,

es steht nichts davon da, dass ein Wind geht! Die Schadstoffe der letzten Monate bleiben erhalten.

Und jedes Monat kommen neue hinzu.

Wie viele, das sagt

F (x)

für das jeweilige Monat. Einheit: Schadstoffe pro Monat.

Die Summe, die sich bis zum Monat

x

angesammelt hat, kann man durch Aufsummieren jedes F(x)-Werts ermitteln oder direkt durch Einsetzen von

x

in das Integral dieser Funktion. Einheit: Schadstoffe.

Wie sich die monatliche Belastung ändert, beschreibt

f (x)

direkt. Einheit: Schadstoffe pro Monat pro Monat oder Schadstoffe pro Monat^2

Im übrigen, darf ich Deine Aufmerksamkeit nochmals auf meinen Beitrag oben lenken?

LG,
Stephan

Bea1005 aktiv_icon

13:51 Uhr, 07.08.2013

An FUNKE...und Sephan

...!!!!

:-)))

! wenn ich also den satz lese im 3. Monat gibt es ****ME Schadstoffe ..bedeutet dies dann ***ME pro Monat?????????
dann ergibt das alles endlich einen Sinn

...

.
wenn ich diese aussage jetzt richtig verstanden habe, bin ich wunschlos glücklich! :-)
Hoffe auf eine Bestätigung!

funke_61 aktiv_icon

13:54 Uhr, 07.08.2013

ja sicher, denn es handelt sich um die "Schadstoffmenge in einem Monat" also ist die Einheit implizit "ME/Monat"

Es freut mich sehr, Dir geholfen zu haben.

Bea1005 aktiv_icon

13:55 Uhr, 07.08.2013

VIELEN VIELEN DANK!!!......Du hast mir echt total geholfen!!!!

funke_61 aktiv_icon

13:57 Uhr, 07.08.2013

bitte :-)

Stephan4

14:02 Uhr, 07.08.2013

Du hoffst auf Bestätigung? Gut, bitte sehr:

Freut mich, geholfen zu haben. Jetzt bin auch ich wunschlos glücklich.

LG,
Stephan

Atlantik aktiv_icon

16:53 Uhr, 07.08.2013

Noch ein einfaches Beispiel:

Eine Straßenteermaschine schafft täglich

500 m^{2}

. Da kannst du die Funktion

f (t) = 500

aufschreiben. In sechs Tagen sind somit

6 \cdot 500 m 2 = 3000 m^{2}

geteert.

Das geht nun auch mit dem Integral von

f (t) :

F (t) = \int 500 d t = 500 t + C

Also du bekommst hiermit immer die gesamte geteerte Fläche.Innerhalb von 6 Tagen erhältst du:

A = \int_{0}^{6} 500 d t = {[500 t]}_{0}^{6} = 3000

Dieses

F (t)

nochmals zu integrieren gibt keinen Sinn.

mfG

Atlantik

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Bea1005 aktiv_icon

16:56 Uhr, 07.08.2013

...mh danke

...,

aber ich glaube nicht, dass die beigefügte Lösung und allevorherigen Posts falsch sind

...

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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