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Bedeutung einer Diagonalmatrix
Universität / Fachhochschule
Eigenwerte
Matrizenrechnung
Vektorräume
Tags: Diagonalmatrix, Eigenwert, Matrizenrechnung, Vektorraum
 
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Hallo, ich habe eine Frage zum diagonalisieren von Matrizen. Angenommen ich habe eine gekoppelte DGL in Matrixschreibweise, dann kann ich die doch ganz einfach entkoppeln, wenn ich die MAtrix diagonalisiere. Meine Frage ist: Warum geht das so einfach oder tut es das überhaupt? Wechsel ich nicht die Basis dabei? Welche anschauliche Bedeutung hat die Diagonalmatrix hier? grüße dude Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
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Hallo, eine Matrix zu diagonalisieren bedeutet tatsächlich, einen Basiswechsel zu Eigenvektoren durchzuführen. Für das Endergebnis muss man dann auch zurücktransformieren. Allerdings gibt es nicht immer eine Basis von Eigenvektoren. Schau mal nach Jordanscher Normalform einer Matrix bzw. einer Basis von Eigen- und assoziierten Vektoren. Eine Matrix ist die Darstellung einer Abbildung in einem Paar von Basen im Urbild- und Bildraum. Wenn man eine Basis (oder beide) wechselt, ändert sich zwar nicht die Abbildung, wohl aber die beschreibende Matrix. Die interessante Frage ist jetzt, in welcher Basis die Abbildung eine möglichst einfache beschreibende Matrix besitzt, z.B. um zu ermitteln. Für eine Diagonalmatrix ist das leicht möglich. Gruß Stephan |
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Also angenommen ich bilde einen Punkt P durch eine nicht diagonale aber diagonlisierbare Matrix ab und bekomme dadurch den Bildpunkt P' dessen Koordinaten von der Ursprungsbasis abhängen. Dann diagonalisiere ich M und mache das ganze nochmal. So bekomme ich Q, dessen Koordinaten von der Eigenvektorbasis abhängen, sprich und , falls die Basen verschieden sind, aber in einer Zeichnung sind Q und P' am gleichen Fleck? Grüße dude |
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JA klar, es ändern sich nicht die Objekte, sondern nur ihre Darstellung. Bsp.: Nimm den Vektor P(2,3) in der kanonischen Basis {(1,0), (0,1)}, Wenn Du jetzt die Basis {(3,1), (-1,2)} wählst, hat derselbe Vektor die Darstellung P(1,1). |
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Achso dann hab ich es glaub ich begriffen. Um eine gekoppelte DGL möglichst elegant zu lösen versuche ich eine Basis zu finden, für die die Matrix Diagonal wird. So kann ich das entkoppeln ohne etwas zu verändern und muss nacher nur noch die Basis zurückrechnen. Danke für die Hilfe |
