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Bedingte Erwartung berechnen

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Tags: Erwartungswert, Finanzmathematik, Sonstig, Verteilungsfunktion, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

 
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Isaaabellll

Isaaabellll aktiv_icon

10:26 Uhr, 21.11.2019

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Hallo,

bei folgender Aufgabe komme ichicht weiter:

Seien Ω=[0,1],F=B[0,1] und P=λ|[0,1] die Gleichverteilung af[0,1]. Sei n1 fest. Sei Gn die σ -Algebra, die von {[0,1n],(1n,2n],...,(n-1n,1]} erzeigt ist. Sei XL1(Ω,F,P): Bestimme die bedingte Erwartung E[X|Gn]

Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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Antwort
HAL9000

HAL9000

07:41 Uhr, 22.11.2019

Antworten
Ich hab ein paar Sekunden gerätselt, bis mir aufgegangen ist, dass "af[0,1]" eigentlich "auf [0,1]" bedeutet. Dieses im ersten Moment komische Missgeschick deutet darauf hin, dass du die Aufgabe Symbol für Symbol abgemalt hast, statt über den Inhalt nachzudenken - kein gutes Zeichen.


Seien I1=[0,1n] sowie Ik=(k-1n,kn] für k=2,,n die Mengen des angegebenen Erzeugendensystems. Da diese Mengen paarweise disjunkt sind und in ihrer Vereinigung das gesamte Intervall [0,1] bilden, besteht die Sigma-Algebra Gn aus beliebigen Vereinigungen (inklusive der "leeren") dieser Mengen, es gibt also keine ECHTEN nichtleeren Teilmengen dieser Mengen Ik innerhalb der Sigma-Algebra. Damit kann aus den beiden für alle k=1,,n geltenden Bedingungen der Definition der bedingten Erwartung

a) E[XGn](ω) ist konstant auf allen Mengen Ik

b) IkE[XGn](ω)dλ(ω)=IkX(ω)dλ(ω)

die Berechnungsformel

E[XGn](ω)=1λ(Ik)IkX(t)dλ(t)=nk-1nknX(t)dλ(t) für ωIk

gefolgert werden.