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Bedingte Faktornachfrage, Minimale Kosten

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Sonstiges

Tags: Bedingte Faktornachfrage, Minimale Kosten, Produktionsfunktion

Lio345 aktiv_icon

11:49 Uhr, 21.02.2018

Hallo ihr Lieben,

ich hab ein kleines Verständnisproblem.

Zur Aufgabe: Ein Unternehmen produziert gemäß der Produktionsfunktion

y = f (x_{1}, x_{2}) = x_{1} \cdot x_{2}^{\frac{1}{2}}

mit den Mengen

x_{1}

und

x_{2}

der Produktionsfaktoren 1 und 2. Die Preise für die Produktionsfaktoren 1 bzw. 2 betragen

w_{1} = 1

bzw.

w_{2} = 4

.

Berechnen Sie

a .)

das Grenzprodukt des Faktors 2

Lösung ist

: \frac{1}{2} \cdot x_{1} x_{2}^{- \frac{1}{2}}

Das habe ich auch.

b .)

die bedingte Nachfrage nach Faktor

2

in Abhängigkeit von

y

.

Lösung:

\frac{1}{4} y^{\frac{2}{3}}

y = (2 x_{2} \cdot \frac{w_{2}}{w_{1}}) \cdot x_{2}^{\frac{1}{2}}

y \cdot \frac{w_{1}}{w_{2}} = 2 x_{2} + x_{2}^{\frac{3}{2}}

\frac{y}{2} \cdot \frac{w_{1}}{w_{2} \cdot 2} = x_{2}^{\frac{3}{2}}

\frac{y}{2} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 2) = x_{2}^{\frac{3}{2}}

\frac{y}{2} \cdot \frac{1}{8} = x_{2}^{\frac{3}{2}}

\frac{1}{4} y = x_{2}^{\frac{3}{2}}

\frac{1}{4} y^{\frac{2}{3}} = x_{2}

Ab hier habe ich mir jetzt gemerkt, drehe ich die

^(\frac{3}{2})

um, sodass ich dann

\frac{1}{4} y^{\frac{2}{3}}

habe, nur ich verstehe nicht, wieso ich diese Operation nicht auch mit

\frac{1}{4}

machen muss?

c .)

die minimalen Kosten, zu denen

y = 8

produziert werden kann.

Jetzt muss man noch die bedingte Nachfrage nach Faktor

1

in Abhängigkeit von

y

ausrechnen und dann jeweils

y

in die bedingten Nachfragen einsetzen.

y = x_{1} \cdot {(\frac{w_{1}}{w_{2}} \cdot \frac{x_{1}}{2})}^{\frac{1}{2}}

y = x_{1} \cdot {(\frac{1 \cdot x_{1}}{4 \cdot 2})}^{\frac{1}{2}}

y = x_{1} \cdot {(\frac{x_{1}}{8})}^{\frac{1}{2}}

y = x_{1} \cdot \frac{x_{1}^{\frac{1}{2}}}{4}

4 y = x_{1}^{\frac{3}{2}}

4 y^{\frac{2}{3}} = x_{1}

Bis hierhin ist es einigermaßen okay, aber ab jetzt finde ich nicht zur Lösung.

Ich muss ja,

w_{1} \cdot x_{1} + w_{2} \cdot x_{2} = c

(minimale Kosten) ersetzen durch die errechneten Terme und Zahlen

1 \cdot 4 \cdot 8^{\frac{2}{3}} + 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot 8^{\frac{2}{3}}

= 20

mit dem Taschenrechner

Lösung ist aber

12

(laut Lösungsbogen) und außerdem müssen wir ohne Taschenrechner auskommen. Also meine Frage jetzt, wo habe ich mich verrechnet und wie rechne ich ohne Taschenrechner

^(\frac{2}{3})

aus? Gibt es da einen einfachen Trick?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Enano

13:46 Uhr, 21.02.2018

Hallo,

wie kommst du unter

b)

bei deiner 2.Gleichung auf der rechten Seite auf das

+,

obwohl in der Gleichung darüber gar kein

+

vorkommt?
In der Gleichung darunter verschwindet das

+

wieder auf mysteriöse Weise, dafür taucht eine zusätzliche 2 auf, die vorher nicht da war.

Wenn du ein Produkt

z . B

. durch 2 dividierst, dann darfst du nicht jeden Faktor durch 2 teilen:

4 \cdot 6 = 2 \cdot 12 | : 2

\frac{4 \cdot 6}{2} = \frac{2 \cdot 12}{2} \neq \frac{4}{2} \cdot \frac{6}{2}

Anders ist es bei Summen:

4 + 6 = 2 \cdot 5 | : 2

\frac{4}{2} + \frac{6}{2} = \frac{2 \cdot 5}{2}

Auch bei deiner letzten hier veröffentlichten Aufgabe wurde schon aus einer Multiplikation eine Addition. Ich habe dich darauf hingewiesen, aber offensichtlich hast du das nicht zur Kenntnis genommen.

Lio345 aktiv_icon

14:01 Uhr, 21.02.2018

Ja gut, das stimmt. Da hast du recht, aber am Ende macht es am Ergebnis ja nicht oder?
es kommt auf der rechten Seite doch trotzdem

x_{2}^{\frac{3}{2}}

raus.

Enano

14:12 Uhr, 21.02.2018

Ja, die rechte Seite stimmt zwar, aber deine Rechnung sollte auch nachvollziehbar sein.

Lio345 aktiv_icon

14:40 Uhr, 21.02.2018

Das ist auch wahr, ich hab es nochmal neu gerechnet und da kommt ein plausibles Ergebnis raus, auch wenn ich nicht

\frac{1}{4} y^{\frac{2}{3}}

geschrieben hätte, sondern

\frac{y^{\frac{2}{3}}}{4}

gelassen hätte, aber das ist dann eher so ein Schönheitsding.

x_{1}

habe ich auch nochmal ausgerechnet, da kommt dann

2 y^{\frac{2}{3}}

raus.

Wenn ich das aber zusammen mit den Preise in

p_{1} \cdot x_{1} + p_{2} \cdot x_{2}

einsetze, da kommt da keine

12

raus.

Wie rechne ich ohne Taschenrechner

1 \cdot 2 \cdot 8^{\frac{2}{3}} + 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot 8^{\frac{2}{3}}

aus.

Natürlich sofern die Ergebnisse diesmal richtig sind.

Enano

14:56 Uhr, 21.02.2018

2 \cdot 8^{\frac{2}{3}} + 1 \cdot 8^{\frac{2}{3}} = 3 \cdot 8^{\frac{2}{3}} = 3 \cdot \sqrt[3]{8^{2}} = 3 \cdot \sqrt[3]{64} = 3 \cdot 4 = 12

Dass ein Student weiß, dass

4 \cdot 4 \cdot 4 = 64

ist und folglich 4 die 3. Wurzel aus

64,

ist

m . E

. nicht zuviel verlangt.

Lio345 aktiv_icon

15:07 Uhr, 21.02.2018

Achso, gut. Das kann ich nachvollziehen.
Nein, zuviel verlangt ist das nicht.

Ich hatte einfach total umständlich gedacht und nicht im Sinn gehabt, dass ich einfach

2 \cdot 8 .

+ 1 \cdot 8 . .

. normal summieren kann auf

3 \cdot 8 . .

.

Ich danke dir :-)

Enano

16:59 Uhr, 21.02.2018

Obwohl deine 7 Gleichungen zu

b) 5

Fehler enthalten, bist du zum richtigen Ergebnis gekommen oder vielleicht gerade deswegen.;-)

"Ab hier habe ich mir jetzt gemerkt, drehe ich die

^(\frac{3}{2})

um, sodass ich dann

\frac{1}{4} y^{\frac{2}{3}}

habe, nur ich verstehe nicht, wieso ich diese Operation nicht auch mit

\frac{1}{4}

machen muss?"

Selbstverständlich musst du diese Operation auch mit

\frac{1}{4}

machen:

\frac{1}{4} \cdot y = x_{2}^{\frac{3}{2}}

Beiden Seiten mit

\frac{2}{3}

potenzieren, bedeutet:

{(\frac{1}{4})}^{\frac{2}{3}} \cdot y^{\frac{2}{3}} = {(x_{2}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}}

Wichtiger als sich zu merken, dass was umgedreht werden muss, ist es, zu wissen, warum man das macht:

Auf der rechten Seite möchtest du von

x_{2}^{\frac{3}{2}}

auf

x_{2}

kommen, also potenzierst du beide Seiten mit

\frac{2}{3},

denn

{(x_{2}^{\frac{3}{2}})}^{\frac{2}{3}} = x_{2}^{(\frac{3}{2}) \cdot (\frac{2}{3})} = x_{2}^{\frac{6}{6}} = x_{2}^{1} = x_{2}

Eine Potenz wird potenziert, in dem die Exponenten multiplizert werden...!

Wenn du aber so gerechnet hättest, wärst du zu einem falschen Ergebnis gekommen, weil du vorher auch schon mehrere Fehler gemacht hast.

Auch deine Rechnung unter c)enthält einen Fehler:

8^{\frac{1}{2}} = \sqrt{8}

ist nicht gleich

4!

Schade, dass dein Lösungsweg zwar richtig ist, du aber aufgrund der vielen Fehler nicht zum richtigen Ergebnis kommst. Wenn du mal deine mathematischen Grundlagen auffrischt und dich besser konzentrierst, solltest du zukünftig bei der Lösung solcher Aufgaben weniger Probleme haben.

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