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Bedingte Wahrscheinlichkeit: Ziegenproblem

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Tags: Bedingte Wahrscheinlichkeit, Ziegenproblem

dingo1896 aktiv_icon

10:01 Uhr, 08.07.2017

Hallo,

ich habe ein Problem mit einer Variante des Ziegenproblems, also nicht mit der Standardversion und ich hoffe mir kann jemand dabei helfen dieses Problem zu lösen.

VORGABEN:

- Der Kandidat entscheidet sich zuerst immer für Tor 1
- Die Wahrscheinlichkeiten, dass der Gewinn hinter den Toren

p 1 \geq p 2 \geq p 3 \geq 0

liegt, sind nicht gleichverteilt
- Es gilt

p 1 + p 2 + p 3 = 1

- Nach Wahl des ersten Tors öffnet der Showmaster eine Niete und mit der W'keit

α

entscheidet sich der Kandidat um

AUFGABEN:

a)

Modelliere Wegemodell mit:
- Stufe 1: Tore
- Stufe 2: gewonnen/ verloren

b)

W'keit für Gewinn abhängig von

p 1, p 2, p 3

und

α

beschreiben.

c)

Sei

p 1 := (\frac{1}{2});

Soll der Kandidat wechseln?

d)

Sei

p 1 := 0.4; p 2 := p 3 := 0.3; α := 0.5;

Gib die W'keit für Tor 1 an, falls der Kandidat gewonnen hat.

LÖSUNGSANSATZ:

a)

Ich gehe davon aus, dass mein Startpunkt

p 1

ist und ich mich dann für die Toren folgendermaßen entscheide:

- - - - p 1 = (1 - α) - - - - p 1

und gewonnen

= (1 - α) \cdot p 1

oder

p 1

und verloren

(1 - α) \cdot (1 - p 1);

- - - - p 2 = α - - - - p 2

und gewonnen

= α \cdot p 2

oder

p 2

und verloren

α \cdot (1 - p 2);

analog für

p 3

b)

Gewonnen in Abhängigkeit von Tor

x :

P (g | p 1) = (1 - α) \cdot p 1;

P (g | p 2) = α \cdot p 2;

P (g | p 3) = α \cdot p 3;

c)

Weiß ich nicht

d)

Formel von Bayes:

P (p 1 | g) = \frac{P (g | p 1) \cdot p 1}{P (g | p 1) \cdot p 1 + P (g | p 2) \cdot p 2 + P (g | p 3) \cdot p 3}

Habe da

47 %

rausbekommen

Ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand helfen könnte.

Freundliche Grüße.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Bedingte Wahrscheinlichkeit Einführung
Bedingte Wahrscheinlichkeit Fortgeschritten

Roman-22

11:40 Uhr, 09.07.2017

Ich gehe davon aus, dass es auch bei deiner Variante nur drei Tore gibt und auch hier nur hinter genau einem davon der Gewinn lauert!?

Was du bei

a)

rechnest und ausführst ist verwirrend (und auch formal falsch), da du offenbar je nach Laune die Bezeichnung

p 1

einmal für die Wahrscheinlichkeit, dass der Gewinn hinter Tor 1 liegt und dann wieder für das Ereignis, dass der Gewinn hinter Tor 1 liegt, verwendest. Du scheinst aber die WKTen für die möglichen Versuchsausgänge richtig anzugeben.

Ich werde im Folgenden nun

G

für "Kandidat gewinnt" und

T_{x}

für "Gewinn ist in Tor x" verwenden.

b)

scheinst du missverstanden zu haben. So wie ich die Angabe lese ist hier eine Formel für

P (G)

gesucht, in der die vier Angabegrößen vorkommen sollen. Also schlicht die Summe der drei Terme, die du angeschrieben hast. Diese geben allerdings nicht die bedingten Wahtscheinichkeiten an, so wie du das geschrieben hast.
zB

>

P(g|p1)=(1-α)⋅p1;
ist falsch, Vielmehr gilt

P (G | T_{1}) = 1 - α

und

P (G \land T_{1}) = (1 - α) \cdot p_{1}

Die Formel für

P (G)

lässt sich noch vereinfachen, da ja

p_{2} + p_{3} = 1 . p_{1}

ist und man erhält somit einen Ausdruck für

P (G),

der nur von

p_{1}

und

α

abhängig ist.

> c)

Weiß ich nicht
Das ist das einzige, was noch vom originalen Ziegenproblem/-paradoxon übrig geblieben ist. Beachte, dass das öffnen des Nieten-Tors nichts an der WKT, dass der Gewinn in Tor 1 liegt, ändert. Diese bleibt

\frac{1}{2}

. Daher ist es egal, ob man wechselt oder nicht.

>

Habe da

47 %

rausbekommen
Deine Formel scheint bis auf die Bezeichnungen richtig zu sein, also solltest du das mal vorrechnen, wie du da auf

47 %

kommst.
Wenn

α = \frac{1}{2}

ist, dann ist

P (G) = \frac{1}{2},

egal, wie die WKTen

p_{x}

aussehen.
Also muss also

P (T_{1} | G) = p_{1} = 40 %

sein und das sollte sich mit deiner Formel auch einstellen.

dingo1896 aktiv_icon

13:17 Uhr, 09.07.2017

Hallo Roman,

schon mal vielen Dank für deine Antwort.

Es handelt sich in dieser Version auch um drei Tore

T 1, T 2, T 3

mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten

p 1, p 2, p 3,

dass der Gewinn hinter
einer dieser Tore ist.

Zum Wegemodell:

Also habe ich

T 1, T 2, T 3

als erste Stufe und gehe dann jeweils mit den W'keiten

1 - α

und

α

zu den Toren?

Als nächstes würde ich zu

G, V

im Modell gehen

(2

. Stufe).

T 1

ist Startpunkt

Bsp soll das Wegemodell darstellen (Baumdiagramm)
Pfad:

T 1 - - - T 1 - - - G

W'keit für

(T 1 - - - T 1) = 1 - α

W'keit

(T 1 - - - G) =

?

da hätte ich jetzt gesagt, dass es

p 1 \cdot (1 - α)

wäre

Im Wegemodell möchte ich ausdrücken, wie hoch die W'keit ist, dass er gewonnen hat in Abhängigkeit davon, dass er

T 1

gewählt hat.

Wäre es dann also, wie du gesagt hast,

P (G | T 1) = 1 - α

und hat gar nichts mit der W'keit

(p 1)

zu tun, dass der Gewinn dahinter liegt?

Wären dann

P (G | T 2) = \frac{α}{2} = P (G | T 3)

?

Zur Aufgabe

b)

Warum genau ist

p 2 + p 3 = 1

?

Zur Aufgabe

d)

Da habe ich wohl einfach dann die falschen Werte aus

a)

reingepackt

Roman-22

15:30 Uhr, 09.07.2017

> T 1

ist Startpunkt

T 1

ist ein Ereignis

(\in

meiner vorhin vorgeschlagenen Nomenklatur) - nämlich "Der Gewinn liegt hinter Tor 1".
Was du meinst ist aber, dass der Kandidat sich zu Beginn nach Angabe für Tor 1 entscheiden muss - das ist vorgegeben und nicht Teil des Baumdiagramms.
Die erste Stufe des Diagramms wäre für mich das Tor, hinter dem der Gewinn liegt. Das wären also drei Zweige, deren Endpunkte mit

T_{1}

bis

T_{3}

zu beschriften sind und die Wege dorthin haben die WKTen

p_{1}

bis

p_{3}

.
Die zweite Stufe kann dann Gewinn oder Nichtgewinn sein, also jeweils eine Einfachverzweigung. Insgesamt also 6 Endknoten, 3 davon Gewinn.
Aber ich hab ohnedies schon vorhin geschrieben, dass du die WKTen für diese 6 Enden offenbar richtig hast.

>

Im Wegemodell möchte ich ausdrücken, wie hoch die W'keit ist, dass er gewonnen hat in Abhängigkeit davon, dass er

T 1

gewählt hat.
NEIN! Dass er zu Beginn Tor 1 (und NICHT das Ereignis

T_{1})

wählt, ist ja vorgegeben. Daran ist nicht zu rütteln, das ist Teil der gegebenen Versuchsanordnung. Das spielt in kein Ergebnis hineine, das ist Fakt.

>

Wäre es dann also, wie du gesagt hast, P(G|T1)=1−α und hat gar nichts mit der W'keit

(p 1)

zu tun
Richtig

P (G | T_{1})

hat nichts mit

p_{1}

zu tun.

T_{1}

bedeutet ja NICHT, dass der Kandidat tor 1 gewählt hat, sondern dass der Gewinn hinter Tor 1 liegt. Dass der Kandidat anfangs T0or 1 wählt ist fix vorgegeben. Wenn der Gewinn hinter Tor 1 liegt, gewinnt der Kandidat daher nur, wenn er, nachdem der Moderator Tor 2 oder To3 geöffnet hat, NICHT wechselt und dafür ist die WKT

1 - α

>

Wären dann P(G|T2)=α/2=P(G|T3)?

P (G | T_{2}) = P (G | T_{3}) = α

Wenn der Gewiinn hinter Tor 2 lauert gewinnt er genau dann, wenn er wechselt. UNd dafür ist die WKT

α

.
Oder hast du

P (T_{2} | G)

gemeint. Das wäre dann etwas komplizierter und würde nicht nur von

α

abhängen.

>

Warum genau ist

p 2 + p 3 = 1

?
Nach der 1 stand noch "*p2" und das war ein Tippfehler. Es sollte

p_{2} + p_{3} = 1 - p_{1}

lauten.

>

Zur Aufgabe

d)

>

Da habe ich wohl einfach dann die falschen Werte aus

a)

reingepackt
Aber

a)

war doch, soweit ich sehen konnte, richtig?
Hast du jetzt also auch

40 %

raus !?

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