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Bedingte Wahrscheinlichkeit ausrechenen

Universität / Fachhochschule

Tags: Bedingte Wahrscheinlichkeit, Stochastik

TheOne123 aktiv_icon

14:50 Uhr, 06.03.2022

Guten Tag,

Ich versuche gerade folgende Aufgabe zu lösen, bzw. habe sie nun gelöst, bräuchte aber einmla eine Rückmeldung ob es richtig ist. (Ich glaube nämlich dass ich es falsch habe)

Aufgabe: Ein Würfel wird 3 mal gewürfelt.

i)

Bestimme die Wahrscheinlickeit, dass die Augensumme der drei Würfe

< 16

Insgesamt gibt es

6^{3}

versch. Möglichkeiten zu würfeln. Als

| Ω | = 216

Es gibt

10

Tupel für die gilt, dass deren Summe

\geq 16

sind folegende:

(6,6,6) (6,6,5) (6,5,6) (5,6,6) (5,5,6) (5,6,5) (6,5,5) (4,6,6) (6,4,6) (6,6,4)

Also gibt es

216 - 10 = 206

Möglichkeiten für die die Augensumme

< 16

ist.

Wahrschlichkeit für Augensumme

< 16

für 3 Würfe ist dann also

\frac{206}{216} = 95,37 %

Das ist glaub ich richtig.

Nun habe ich Probleme bei den folgenden Aufgaben:

ii)Unter der Bedingung das die Augensumme

\geq 16,

wiee groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der erste Wurf eine 6?

Ich sage nun dass

A :

erster Wurf ist eine 6

B :

Augensumme

\geq 16

Mit BAyes und Multiplikationssatz folgt

P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)} = (\frac{P_{A} (B) \cdot P (A)}{P (B)}) = \frac{(\frac{2}{216}) \cdot (\frac{1}{6})}{\frac{1}{6}} = 0,1

Stimmt das?

iii) Unter der Bedingung dass der erste Wurf 6 ist, wie großist die Wahrscheinlichkei, dass die Augensumme

\geq 16

?

Bei der Aufgabe bin ich komme ich nicht weiter... Müsste hier nicht das gleiche rauskommen, wie in der Aufgabe davor. Es wurde ja nur die Bedingung ausgetauscht.
Wenn ich die Formel aufschreibe:

P_{A} (B) = \frac{P (B \cap A)}{P (A)} = (\frac{P_{B} (A) \cdot P (B)}{P (A)})

Um das auszurechnen brauche ich

P_{B} (A)

aber was wäre das???
In Worte wäre es ja Die Wahrschl. dass beim ersten Wurf eine 6 geworfen wird, Unter der Bedingung dass die Augensumme der drei Würfe

\geq 16

ist... Wäre das dann wieder

\frac{6}{216}

so wie P_A(B)??? Dann hätte ich als Ergebnis

P_{A} (B) = 0,007

raus

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Bedingte Wahrscheinlichkeit Einführung
Bedingte Wahrscheinlichkeit Fortgeschritten

Roman-22

15:36 Uhr, 06.03.2022

i)

ist richtig

ad ii)
Du hast doch die

10

Fälle für Summe

\geq 16

schön einzeln aufgelistet. Wenn also bekannt ist, dass die Summe

\geq 16

ist, muss es einer dieser

10

Fälle sein, von denen alle gleichwahrscheinlich sind.
Du musst also nur zählen, wie viele dieser

10

Fälle mit einer Sechs beginnen. Es sind 6 und daher ist die gesuchte WKT

\frac{6}{10}

.

Die Fehler in deinem Ansatz sind:

1) P_{A} (B) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

und nicht

\frac{2}{216}

Das ist die Lösung von iii)
Überlege dir dazu, wie viele Möglichkeiten es nach einer ersten Sechs für die anderen beiden Würfel gibt und wie viele davon mit der ersten Sechs eine Gesamtsumme von

16

oder größer ergeben.

2) P (B) = \frac{10}{216}

und nicht

\frac{1}{6}

B

ist ja das Gegenereignis zum Szenario in

i)

TheOne123 aktiv_icon

17:56 Uhr, 06.03.2022

Also kann man hier gar nicht den Satz von Bayes benutzen?

Genau DAS verwirrt mich, weil ich dachte, dass dieser genau für solche Situationen benutzt wird, nämlich um eine Wahrscheinlichkeit unter einer gegebenen Bedingung zu berechnen.

Der Rechenweg von Dir macht zwar einigermaßen Sinn für mich, weil man quasi nur abzählt und dann den Bruch hinschreibt aber mein erster Gedanke als ich die Aufgabe gelesen habe "Unter der Bedingung dass, ..." war sofort "Satz von Bayes"

HAL9000

15:38 Uhr, 07.03.2022

> Also kann man hier gar nicht den Satz von Bayes benutzen?

Zu ii) Du kannst schon über

P_{A} (B)

gehen, wenn du das günstig bestimmen kannst:

Die bedingte Wkt für "Augensumme

\geq 16

" unter der Bedingung "erste Augenzahl gleich 6" ist gleichbedeutend mit der absoluten Wahrscheinlichkeit "Summe zweite+dritte Augenzahl

\geq 10

". Und das ist

\frac{1 + 2 + 3}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

.

Allerdings hattest du oben doch sowieso alle 10 Fälle von Augenzahlen

\geq 16

einzeln aufgelistet, da konnte man problemlos auch alle die rausfischen mit einer 6 am Anfang - warum dann noch Bayes, wenn man das sowieso schon schnell abgezählt hat.

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