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Bedingte Wahrscheinlichkeit ausrechnen?
Schüler Sonstige, 13. Klassenstufe
Tags: Bedingte Wahrscheinlichkeit
 
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Hi, ich komme nicht auf die Lösung. In einer Urne liegen 5 Kugeln mit Buchstaben. Urne={a,a,a,h,h}. Es werden nun mit Zurücklegen 2 Kugeln gezogen. Außerdem sind die folgenden Ereignisse E und F bekannt. E:="Die erste Kugel trägt den Buchstaben a". F:="Die zweite Kugel trägt den Buchstaben h". Weiße nach, dass gilt: Mein Lösungsversuch: ------------------------ Die Ergebnismenge lautet: Omega = {(a,a);(a,h);(h,a);(h,h)} P((a,a)) = 9/25 P((a,h)) = 6/25 P((h,a)) = 6/25 P((h,h)) = 4/25 Ich habe die 2 Ereignisse E und F als Menge aus Paaren aufgeschrieben, wobei die 1. Komponente im Paar die erste gezogene Kugel ist. E = {(a,a);(a,h)}, damit ist P(E) = P((a,a)) + P((a,h)) = 9/25 + 6/25 = 15/25 = 3/5 F = {(a,h);(h,h)}, damit ist P(F) = P((a,h)) + P((h,h)) = 6/25 + 4/25 = 10/25 = 2/5 Das gilt, dazu kann man, weil die Pfadregel gilt auch zeigen, dass ist. P(E)*P(F) = 3/5 * 2/5 = 6/25. Dazu muss man herausbekommen. Und beim herausbekommen von liegt irgendwo ein Denkfehler: ------------------------------------------------------------------------------ Ich schaue mir dazu immer die Ereignisse E und F an: E:="Die erste Kugel trägt den Buchstaben a". F:="Die zweite Kugel trägt den Buchstaben h". Und schreibe die Ereignisse dann als Mengen auf. E = {(a,a);(a,h)} F = {(a,h);(h,h)} Nun muss man die Wahrscheinlichkeit vom Ereignis F unter der Bedingung des Ereignisses E berechnen, wobei die Wahrscheinlichkeit von E als bekannt vorausgesetzt wird. Die Wahrscheinlichkeit von irgendwas ist ja "Alle Möglichkeiten" werden durch das Ereignis E begrenzt. Das wären dann (a,a);(a,h), also 2 Möglichkeiten. Das Ereignis F gibt uns die "günstigen Möglichkeiten" an, die wir in der Menge E = {(a,a);(a,h)} suchen. Also das Element (a,h), das ist dann eine Möglichkeit. ist aber 2/5. Also 2 günstige Möglichkeiten aus 5 gesamten Möglichkeiten. Und das verstehe ich nun überhaupt nicht! Dann muss die Menge E ja 5 Elemente haben und die Menge F 2 Elemente. Wie soll das denn gehen??   Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Du hast sehr schön systematisch begonnen, indem Du für jedes der vier Ergebnisse die Wahrscheinlichkeit berechnet hast. Dann hast Du und bestimmt. Jetzt hätte nur noch gefehlt (genauso einfach) und Du wärest fertig gewesen! Zu Deinem Weg über Der Fehler steckt hier: "Die Wahrscheinlichkeit von irgendwas ist ja günstigeMöglichkeiten / alleMöglichkeiten" Das stimmt so allgemein natürlich nicht, sondern nur für Laplace-Experimente, bei denen also alle Ergebnisse bzw. Möglichkeiten gleich wahrscheinlich sind (was hier nicht stimmt). |
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Ja, Du hast Recht, es gilt ja; . Und das gilt doch nur bei stochastischer Unabhängigkeit. Oder nicht? Weil wir hier ziehen mit Zurücklegen habe liegt ja Unabhängigkeit vor. Weil die Aufgaben aber mit der Zeit immer unklarer gestellt werden, wollte ich nicht so rechnen. Weil man es dann irgendwann bei Anbhängigkeit anwendet und dann ist falsch. Aber nach der Pfadregel gilt immer: Aus dem Grund wollte ich zeigen, dass gilt: |
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Nein, es geht nicht darum, zu benutzen, sondern das bei dieser Aufgabe nachzuweisen. Du sollst einfach beide Seiten ausrechnen; als Ergebnis erhält man denselben Wert. Damit hast Du dann die Unabhängigkeit nachgewiesen. (Natürlich war auch schon vorher klar, dass bei diesem Ziehen mit Zurücklegen sich Unabhängigkeit ergeben sollte, so wie sich bei Teil Abhängigkeit ergeben wird.) |
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Ich hatte ja schon ausgerechnet, dass Jetzt wollte ich noch auf einen anderen Weg berechnen, der unabhängig ist von den Werten P(E) und P(F). Deshalb wollte ich berechnen. Quasi die Definition aus dem Bild anwenden. Ich wollte also die Gleichung beweisen. Und dazu wollte ich beide Seiten unabhängig voneinander zeigen.  |
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Ja, das kannst Du so machen (aber richtig!). (Du kannst Dich gerne auch noch öfter im Kreis drehen...) Ich bin mir nicht sicher, ob Du das hier realisiert hast: Wenn ja, dann ist alles okay. |
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Ja, darüber habe ich auch nachgedacht: Ich hatte erst auf meinen Zettel stehen, dass ist. Davor habe ich mir die Ereignismengen von den Ereignissen E und F aufgeschrieben, die sind ja. E={(a,a);(a,h)} und F={(a,h);(h,h)}. Daraus kann man ja ablesen, . Mir war aber nicht direkt klar, wie ich den die Wahrscheinlichkeit vom Schnitt einer Menge berechne. Aber die Schnittmenge ist ja auch nur eine Menge. Und die Wahrscheinlichkeit der Menge E={(a,a);(a,h)} kann ich berechnen. E=P(a,a)+P(a,h). Nach dem gleichen Prinzip kann man aber auch berechnen. . Auf diese Art und Weise hätte man dann auch unabhängig von P(E) und P(F) berechnet. |
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Danke Matlok!!! Habe es noch einmal gerechnet ohne komisch ausrechnen zu wollen. Da war dann alles ok. Also in der Musterlösung wird bei Teil a gar nicht berechnet. wird einmal durch P(E)*P(F) und einmal durch die Wahrscheinlichkeit von berechnet. Hier wird quasi abgelesen. Beim Teil b geht man genau so vor. Man berechnet P(E)*P(F) und ließt dann ab und berechnet davon die Wahrscheinlichkeit. Und berechnet man über die Gleichung . Also wird hier nie irgendwie durch irgendwelche Tricks ausgerechnet. Wenn man im Teil a durch die Gleichung berechnet, dann erhält man 2/5 und das ist die gleiche Wahrscheinlichkeit, wie für P(h)=2/5, also die Wahrscheinlichkeit bei, "ein mal ziehen" eine Kugel mit dem Buchstaben h zu ziehen. Ich hätte anders berechnen können, wenn ich P(F) nicht auf die Ereignismenge E={(a,a);(a,h)} eingeschränkt hätte. Man muss P(F) einschränken auf die Menge Urne={a,a,a,h,h}. Denn ganz egal, welche 1. Kugel man gezogen hat, die Wahrscheinlichkeit, dass die 2. Kugel einen Buchstaben h hat, ist 2/5. |
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